第23讲 零点即为根分布 图像定位求范围.docx

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1、第23讲零点即为根分布图像定位求范围典型例题【例1】已知10,函数/(X)=卜2融+。，用，0，若关于X的方程/(幻=Or恰有-Jr+2ax-2a,x0.2个互异的实数解,则a的取值范围是.【例2】设,bwR,若函数/(x)=x+N+Z?在区间(1,2)上有两个不同的零点，X则/(1)的取值范围为.【例3】关于X的方程2-1)2一上2一卜攵=0,给出下列4个命题:(1)存在实数Z,使得方程恰有2个不同的实根;(2)存在实数Z,使得方程恰有4个不同的实根;(3)存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;(4)存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是()【例4已知函数/(x)=x3

2、+r+-,(x)=-1nx,用minm,表示见中的最小值,4设函数A(x)=mnf(x)9g(x)(x0),讨论z(x)零点的个数.强化训练1 .已知函数/(x)=x2+3x(xR).若方程f(x)-ax-=O恰有四个互异的实数根，则实数。的取值范围是.2 .已知/(x)=rH!,R.x+1当a=1时,求不等式/(x)+10,函数/(x)k12公+。，工，0，若关于X的方程/(X)=Or恰有-X+2ax-2a,x0.2个互异的实数解,则a的取值范围是.【解析】【解法1】由题意，可设g()=()-0x=卜:奴+-XT+ax-24,x0.当工,。时，1=a2-4t;当xO时，2=a2-Sa.当()

3、时,函数g(x)恰有2个互异的零点，可分为以下3种情况：=Oi当1I时，解得=0,不满足0,此时无解；2=0,ii当,4时,解得4v0v8,此时函数g(x)的两个互异的零点均为负数；go,10,综上可得，。的取值范围是(4,8).【解法2】由题意分类讨论用,。和x0两种情况,然后绘制函数图像,数形结合求解.当用,O时,方程/(X)=依即x2+2奴+。=奴，整理可得X2=-(x+1),厂很明显X=-I不是方程的实数解，则。=,x+1当x()时，方程/(x)=rBP-x2+2ax-2a=ax,整理可得x2=a(x-2),2很明显x=2不是方程的实数解,则=/一.x-2图23-1原问题等价于函数y=

4、g(x)与函数y=a有两个不同的交点,求。的取值范围，结合函数图像平移的规律绘制函数y=g(x)的图像，同时画出函数y=4的图临界条件,结合()观察可得,实数C1的取值范围是(4,8).【例2】设,hR,若函数/*)=X+匕在区间(1,2)上有两个不同的零点,X则/(1)的取值范围为.【解析】函数/。)=工+0+6在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程/+笈+=0在X区间(1,2)上有两个不相等的实根.所表示的区域为曲边eABC内部(不含边界),目标函数为z=/,(1)=+b+1.易知当z=+力+1过点A(I,2)时取最小值;当z=o+b+1过点C(4,T)时取最大值.的取值范围为(0,1

5、).【解法2】以x,y代替建立平面直角坐标系,如图23-3所示，根据条件作出线性规划图,可行域为曲边APC。内部(不含边界)，当与直线AC平行的直线z=a+b+经过切点P时,Z达到最大值，,、x+y+1=z,联乂47由=()得z=0,y=4x,又可行区域为V以(从甸，.(1)=+8+1(0,1).【例3】关于X的方程卜2-1)2一卜2一“+左=0,给出下列4个命题：(1)存在实数左，使得方程恰有2个不同的实根；(2)存在实数女，使得方程恰有4个不同的实根；(3)存在实数无，使得方程恰有5个不同的实根；(4)存在实数无，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是()A.OB.1C.2D.3【

6、解析】【解法1】关于X的方程卜2-1)2_k2一卜攵=0可化为(x1)1)+攵=O(X.1或其，-1),(x-1)x2-1j=0(1x1时，原方程个不同的根；当OVrV1时，原方程有4个根；当t=时，原方程有3个根，于是有：i当k=-2时，方程有一个正根t=2,相应的原方程的解有2个；ii当k=-时,方程有两个相等的正根t=,相应的原方程的解有4个；42汨当k=0时,方程有两个不等根t=0或r=1,故此时原方程有5个根；iiii当0攵0),讨论(x)零点的个数.【解析】【解法11显然(X)的定义域为(0,+oo).i当Xw(1,o)时，(x)=-1nx0.h(x)=minf(x)fg(x),g

7、(x)O,故(x)在(1,+)上没有零点.ii当x=1时，(1)=-1n1=0(1)=+-.4a.a-时，/(1).0,从而(D=O,故X=I是力(%)的零点；4-时，/(1)0,从而Zi(I)0.故只要考虑/(x)=x3+r+-在(0,1)上的零点个数.43+J_由/(R)=O分离参数得：Q=-f2+-I=-IX2+1-,XV4xJV8x8x4当且仅当X=-时等号成立.2图23-4w(x)=x2+-计算得wII=一-,w(1)=,当x0时，u(x)00,I4xJ2J44当X0,时，“(X)单调递增，当工6(/时，W(X)单调递减.结合图像23-4可知：当。一三时，MX)在(0,1)上没有零点

8、，435当a=或时，h(x)在(0,1)上有一个零点，4453当一时，h(x)在(0,1)上有两个零点，44353综上，由i、ii和Mi可知，当。一?或。一士时，力。)有1个零点；当。二一己或444553a=一一时，h(x)有2个零点；当一一一一时，(x)有3个零点.4 44【解法2】当X(1,+oo)时，(x)=-1nx0,则函数h(x)=min/(x),(x)O,故(X)在x(1,+oo)时无零点，当x=1时，若a.-,则/(1)=a+-.0,则(1)=min(1),g(1)=(1)=0,44故x=1是函数A(X)的一个零点；若。一3,则/(1)=q+30,则MD=min(1)(1)=(1

9、)O,因此只考虑/(x)在(0,1)内的零点个数即可.i当43或.0时，/(x)=3x2+a在(OJ)内无零点，因此/(x)在区间(0,1)内单调,而/(O)=1A1)=。+2,故当W,3时，函数f(x)在区间(0,1)内44有一个零点，5 当a.0时,函数/(x)在区间(U)内没有零点.6 35故当一v-2时,Fa)在(OJ)内有两个零点,当一3%-巳时，Fa)在(M)内有444一个零点.3535综上可得，当一一或一一时，z(x)有1个零点；当。二一一或。二一二时，z(x)有2444453个零点；当一?4一巳时，z(x)有3个零点.44强化训练1 .已知函数/(x)=x2+3xR).若方程f

10、(x)-ax-=0恰有四个互异的实数根，则实数。的取值范围是.【解析】【解法1】由题意得f+3x=x-1.X=1显然不是方程的解,x1.此时=三土主，即。=-1+-+5-1x-14令1=五一1,则y=与y=/+5的图像有4个交4点,作出y=a与y=X-I+5的图像,如答图231x-1所示,用数形结合法求得a(0,1)u(9,-w).【解法2】在同一坐标系中画出/(x)=x2+3x和g(%)=x-1的图像.当O时,如答图23-2所示,两个函数的图像不可能有4个交点,不满足条件.40问题转化为f(x)与g(x)图像恰有4个交点.当y=a(x-V)与y=J+3(或y=a(x-)与y=一-一3%的图像

11、相切时()与g1)图像恰有3个交点,如答图23-3中虚线位置.把y=(x-1)代入y=x2+3x,得f+3x=(x-1)fX2+(3-a)x+7=0.由A=O得(3。)24。=0,解得。=1或。=9.又当=O,/(x)与g(x)的图像仅有两个交点,故a(0,1)u(9,+oo).23 .已知f(x)=ax+-,aR.x+1当=1时,求不等式/(x)1(x+1)的解集：若/(x)在x1,2时有零点，求Q的取值范B1【解析】解：以a=1代入不等式得X+1x+1+.化简得一一.即x+1x+2x+1x+2-0,即!0,即(x+I)(X+2)V0,解得X(-2,-1).x+1x+2(x+1)(x+2)(

12、2)【解法1】原问题等价于方程2+r+=o在1,2上有解.记g(x)=2+r+,即y=ga)在1,2上有零点.当=0时,ox?+r+=IWo,无解，舍去当0时,由A=a-4.0,且O得V0或.4.要使得g(x)的图像与X轴的交点在1,2上,应考虑根的分布.若g=0或g(2)=0,解得。=一!或。=一！26当y=g(x)在(1,2)上有零点,对称轴X=g不在区间内，有，6Z(26t+1)01答图23-423-5所示,数形结合可知,只需满足解得,2611,综上一二，一二6)126【解法2】同【解法1】，原问题等价于方程双2+狈+1=0在口,2上有解,记g(x)=OV2+0v+1.由于此二次函数的对称轴X=-g在区间1,2外，函数g(x)=02+r