容斥原理（二）(含答案)-.docx

《容斥原理（二）(含答案)-.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《容斥原理（二）(含答案)-.docx（9页珍藏版）》请在第一文库网上搜索。

1、容斥原理（二）【例题分析】例1.有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解：“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。V25人10+13+15-25-1x2 = 11 （人）答：只有两次达到优秀的有11人。例2.在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有

2、，只要汽水和雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店?分析与解：根据题意画图。冰?人方法一:6 + 6 + 4-(3+1)-(0+1)-(1 + 1) + 1 = 10 (人)方法二：6 + 6 + 4-3-l-l2 = 10 (人)答：共有10个小朋友去了冷饮店。例3.有28人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问：只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。跑28-17-8 = 3 (人)答：

3、只参加跑和投掷两项的有3人。例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。三圆盖住的总体为49人，假设既参加数学乂参加英语的有x人，既参加语文乂参加英语的有y人，可以列出这样的方程：30 + 20+10-x-y-3+l=49整理后得：x + y = 9由于X、y均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数为7。答：既参加

4、英语又参加数学小组的为2人或7人。例5.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学20人，语文20人，英语20人,数学、英语两科满分者8人，数学、语文两科满分者7人，语文、英语两科满分者9人，三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。设三科都得满分者为x全班人数=20 +20 +20 7 8 9+ x + 3整理后：全班人数=39+x39+x表示全班人数，当x取最大值时，全班人数就最多，当x取最小值时，全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而x中的人数一定不超过两科得满分的人数，即x7, x8且x9,由此我们得到x7另一方面x最小可能是

5、0,即没有三科都得满分的。当取最大值7时，全班有(39 + 7 =)46人，当x取最小值0时，全班有(39 + 0 =) 39人。答：这个班最多有46人，最少有39人。【模拟试题】(答题时间：30分钟)211 .六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有一的人订少年报，有一的32人订数学报，两种刊物都订的有多少人？2 .小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记表如下表(单位：平方米)姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14128438小龙2()12S444他们住的一套房子共有多少平方米?3 .某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18

6、人，又知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人，跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。4 .某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？【试题答案】211.六年级共有96人，两种刊物每人至少订其中一种，有一的人订少年报，有一的32人订数学报，两种刊物都订的有多少人？2 196x + 96x 96=16（人）3 22 1或 96x（一 + 1） =

7、 16（人）3 2答：两种刊物都订的有16人。2.小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时两家登记表如下表（单位：平方米）姓名居室门厅厨房厕所总面积小明14128438小龙2()128444他们住的一套房子共有多少平方米？38 + 44-12-8-4 = 58（平方米）或20 +14 + 12 + 8 + 4 = 58（平方米）答：这套房子共有58平方米。3 .某班45名同学参加体育测试，其中百米得优者20人，跳远得优者18人，乂知百米、跳远都得优者7人，跳高、百米得优者6人，跳高、跳远均得优者8人,跳高得优者22人，全班只有1名同学各项都没达优秀，求三项都是优秀的人数。45-l = 44（）20+18 + 22-7-6-8 = 39（人）44-39 = 5（人）4 .某班四年级时，五年级时和六年级时分别评出10名三好学生，又知四、五年级连续三好生4人，五、六年级连续三好生3人，四年级、六年级两年评上三好生的有5人，四、五、六三年没评过三好生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？设三年连续三好生人数为人全班人数=103-5-4-3 + x + 20全班人数=38 +xx最大是3,最小是0所以这个班最多有(38 + 3 =)41名同学，最少有(38 + 0 =) 38名同学。