概率论与数理统计第二章习题答案.docx

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1、其次章随机变量及其分布2.1随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变蚩的取值是随机的，事先或试蛉前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:若随机变量大的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若大的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称火为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个 , 编号为0,1,2,9 ,从中任取I个，观察号码是“小于5”,“等于5”大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试蛉结果，并写出该随机变量取每一个特定值的

2、概率.解答：分别用码,r g表示试脸的三个结果“小于5 ”，“等于5“大于5则样本空间5= l,2, %,定义随机变量大如下：.0, (u =(oXX() 所以其分布函数0, x 10.3, lx3F() = PAfx= 0.8, 3xv5,1, x5外为的图形为F(x) A18O3一OAX设离散型随机变量A的分布函数为0, x - 104 -lx3试求：（I）大的概率分布；（2）尸（Xv2%=1.解答：iX | J 13 以 0.40.40.2(2)PX2X =PX I3习题5设人的分布函数为x00x 1产(x) =I x0.5, P.1X2.解答:P0.4 0.5= 1 - PX0.5 =

3、 I - F(0.5) = -0.5/2 = 0.75,P1,7X2=F(2)-F(L7)= 1-1=0.习题6设随机变蚩X的分布函数为F(x) A + arctanx (- ),试求：(1)系数才与8；(2)*落在(-1, I内的概率.解答：(1)由于产(-8)= 0,向( + 8)=1,可知A B = 0 2),11于是F(x)= - + -arcta, -x +)2 P-1 vX l=(l)-尸(一 I)习题7在区间0, 上任意投掷一个质点，以“表示这个质点的坐标.设这个质点落在0.0中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求A的分布函数.解答10, x0X产(x) =尸Xx

4、=，-, 0xa,a.I, x42.4连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量A的概率密度为I (x)=-=e PX0.5 = J f(x)dx- Ot/x + f 2xdx =x25 = 0.25r.5/0.5f(x)dx- I f(x)dxO.cJ . a (3)当 XO时，(x) = 0; 当 0xv I时，F(x) = f f(t)dt= Odt f2tdt = 2J = 当 X I 时，F() = v f(t)dt = 0 0J/ 十 t2tdt 十 0J = H： = 1 .故0, x0 (-oc +)2贝 m-mo, 1).解答：应填罕.2由正态分布的概率密度知 =- 3,&由

5、y= 士2 mo, )，所以(71 -L. YY=专-Ng, 1).习题2fir, 0x 求尸X0.5j QX=0.5j F(x).I 0,其它解答：习题3设连续型随机变量A的分布函数为ABe-2 x()尸J) = ，0, x 0试求：(1)4 A的值；(2)巴一11 ： (3)概率密度函数(X).解答：(1)因为F(*)- lim (J + -2x)= I ,所以,4 一 1 5又因为lim(J + e2t) = (0) = 0,r0*得月=-1. P- I X0G) =尸二.0, x02.5随机变量函数的分布习题1已知人的概率分布为-2-10123P) 2a 3aa 2a1()试求：（2）

6、丫=犬-1的概率分布.解答： 2 + I /10 + 3a + + 4 + 2 = 1 , =a =.Y-1038P,31311()5105习题4设的分布律为心耳J, I2.求申的分布律.解答：因为1, n 4k - 江 sin = 0, n2k,-1, n = 4 - 3A所以r=sin/只有三个可能值- 1,0, I ,容易求得U )尸丫=_】=1,py=o = 2Qpg = 4故的分布律列表表示为Y-101P,21色15315习题3设随机变量大服从&句上的均匀分布，令r-tx a（c 0）试求随机变量的密度函数.解答：其它ab/10)= c(h ),cu + d)lny, ye0, 其它

7、,Iy 1时)=z7F 腔所以于是2,Q)=hy)=后旃 小，v) = 2tv- I)0,y习题7设连续型随机变蚩大的概率密度为fG),分布函数为外幻，求下列随机变量y的概率密度: y=9(2)r= W.-解答：()FMPYyPXy,当y0时，Fy(y)PlX 0 + P0 Xy= PX0+尸X lyy = F(O)+ I-F(y),故这时/Q)=当y0时,3G)=Pi 勿 x0=尸(0)-四(1 勿)，故这时 Q) =-f-Ly yJ当y = 0时,FM = PlX0 =PAr(y)=0时，尸 Xr)=尸一yxwy=v)-H-y),这时/心)=/。)+/(一川；当v0,y0某物体的温度为(力

8、是一个随机变量，且有7M98.6,2)已知 =5(7-32)/9,试求川产)的概率密度.解答：5Q已知：M98.6,2). 6=京7-32),反函数为T=g9+32,是单调函数，所以人8) = +32)1f *32-98.6)J i.2225_ 9习题8设随机变量X在任一区间口 上的概率均大于0,其分布函数为 W,又y在0, 上服从均匀分布，证明：z=产J(r)的分布函数与大的分布函数相同.解答：因“在任一有限区间,上的概率均大于o,故尺。)是单调增加函数，其反函数人存在，又，在。1上服从均匀分布，故，的分布函数为0, jj于是，2的分布函数为FAz)PZzPF(Y)zPYF(z)0,死 1由

9、于尸O为的分布函数，故0 FQ) 1.6()和广、(二)1均匀不可能，故上式仅有73 = R(z),因此，2与的分布函数相同.复习总结与总习题解答习题1从l20的整数中取一个数，若取到整数人的概率与A成正比，求取到偶数的概率.解答：设4为取到整数3尸(4) = cA, A=l,2,20.202020|因为 P( U/J= ZR4) = cZ*= 1，所以k-i tI210巴取到偶数 =PJ2u4l.uJ2)=(2 + 4+ + 20)=-.21021习题2若每次射击中靶的概率为07,求射击10炮,(1)命中3炮的概率；(2)至少命中3炮的概率；(3)最可能命中几炮.解答：F(x)= - x2, 0 .v I .1, l若随机变量上表示射击10炮中中靶的次数.由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，人服从二项分布，其参数为 =10, = 0.7,故(1) PX= 3 = Co(O,7)* 1(O.3)7 0.009;(2)PX3 = l-PXv3=1 - 0(7)(3),0 Cjo(O.7),(O.3)9 Cjo(O.7)2 * * * *(O3) 0.998)(3)因 X。仅 10, 0.7),而% = (+ l)p = (l l)0.7 = 7.7 = 7