概率论与数理统计第6章习题解答.docx

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1、一、第六章习题详解6.1 证明()和(6.2.2)式._ 1 n1 n1n证明： Y=-Yi= -Y(aXi +) =+ nb)n /=1 /=1ni= a(-YXi) + b = aXb /=1(2) 5=-i-( -F)2=-(aXib)-(aX + b)2-1 /=1 = -Ya(Xi- X)2 = a2-(Xi- X)2= a2S1n /=1 i=l6.2 设X,X2,，X是抽自均值为、方差为/的总体的样本，9与S2分别为该样本均值。证明与 E(N) = ,Var(X) = 2 / n.111证：E(X) = E-(Xi + X2 + - - - XJ = -E(X1 + X2 + -

2、 - Xn) = -(n) = nnn12V6r(X) = V6zr-(X1 + X9+.XJ = -E(XiX9 + .X,i) = -(2) = -n -n-rrn1_6.3 设X,Xz,X 是抽自均值为、方差为，的总体的样本,S2=Y(Xi-X)2,证明： S2 = =-!(X,2-wX2)(2) E(S2) = =2一1 M证：对=有自凶-2函+初1 n_ n= -2XXi+nX-(X.2)-2X(nX) + nX2 I n E(S2) = - E(Z X-nX2 )= -E(X,2)-hE(X2 )拉一1 瓮/1-1 771/7-1V6r(Xz) + (EX,)2-7V6zr(X)

3、+ (EX)2/=11_2=一+2)72(A2)n-1 Z=1n-n2 +2)-(2 +/?/2)n-1 z 72 75 b b) = b一16.4 在例中，设每箱装n瓶洗净剂.若想要n瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%,请问n至少应当等于多少？解：由于 P( X40.3) 二尸(|-=)2中(0.3册)一1crn 依题意有,2(0.3n)-1 = 0.95,即(0.3)=0.975 =(1.96)于是 0.36 = 1.96,解之得 n = 42.7所以应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值听从均值/=200欧姆，标准差。=10欧姆的分布,在一个电子

4、线路中使用了 25个这样的电阻.(1)求这25个电阻平均阻值落在199至J2O2欧姆之间的概率；(2)求这25个电阻总阻值不超过510()欧姆的概率.解：由抽样分布定理，知上g近似听从标准正态分布N(0,l),因此 / ynP(199 V202) (202 2001025)-(199 - 2001025(l) - (-0.5) = (l)-1 + (0.5)= 0.8413-1 + 0.6915 = 0.5328_ 5100-(2) PnX 5100) = P(X ) = P(X 204)25204 200crrc (=-) = (2) = 0.977210256.6 假设某种设施每天停机时间

5、听从均值 =4小时、标准差。=0.8小时的分布.(1)求一个月(30天)中，每天平均停机时间在1到5小时之间的概率；(2)求一个月(30天)中，总的停机时间不超过115小时的概率.解：P(l V 5)。(牝3)-(上笔)=( 5)-( 1) I yjn08300.830= (6.85)-(-20.54)l-115(2) P(30X115) = P(X-)115/30-4(=) = 1 - (l .14) = 1 - 0.8729 = 0.12710.8306.7 设 7 tn,证明 (7) = 0, = 2,3,.+1T,一00 t yn(n2) I )E(T) =匚 xf(x)dx =+8J

6、-5 + 1)/2nVn/ 2)K + i)/21-/1 4nVn/2)/J+1n dx_+1( + )2f1 0 2 V72r(7?/2)l)I 一厂2+ )-co=06.8 设总体XN(150, 252),现在从中抽取样本大小为25的样本，P140 X 147.5).解： 已知4 = 150, b = 25, n = 25,P(140X147.5)(147.5 1502525)-(140-1502525=(-0.5) - (-2)= 一 (0.5)= 0.9772-0.9615 = 0.28576.9 设某大城市市民的年收入听从均值 =1.5万元、标准差b =0.5万元的正态分布.现随机调

7、查了 100个人，求他们的平均年收入落在下列范围内的概率：(1)大于1.6万元；小于1.3万元；(3)落在区间1.2, 1.6内.9 一 0 52解：设X为人均年收入，则XN(1.5,0.52),则xN(1.5,-),得100 PX 1.6) = 1-P(X 1.6) 1 - ( h6-LL)0.5100=1-(2) = 1-0.9772 = 0.0228 P(X 1.3) ( L3-b)= (-4) = 1 _(4) l-l = 00.51001 6-1512-15P(1.2X 13) = 1-P(X 13) 1-(25= 1 0)(1.12) = 10.8686 = 0.1314(2)设样

8、本的最小值为匕则丫 =山(X,X,，Xs),于是p(y10) = 1-P(y10)= 1-P(X1 10)P(X2 10)P(X5 10)5510-12= 1-1-P(X, 15) = 1-P(Z15)= 1-P(X1 15)P(X2 15)P(Xs 15)515125= l- ()=1 一 n (1.5) = 1 - (0.9332)5 = 0.2923=2E6.11设总体XN(4,M),从中抽取容量样本X,X2,X6, S2为样本方差.计算f s2 1勺一2.04 .解 由于 XN(q2),由定理 2,得=勺(工/2(一1),b )所以y- =7?-1, D! =2(- 1), ) I )

9、于是 E(S2) = c2, O(s2) = 2o45-1)当 =16时，D(S2) = 2415,且PS2 / 2 2.04 = P1552 / 2 30.615)= 1-0.01= 0.99 (Zo,oO5) = 30.578).第六章样本与统计量定理、公式、公理小结及补充:（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品王i2,，X称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般状况下，总是

10、把样本看成是个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简洁随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，玉，居表示n个随机变量（样本）；在详细的一次抽取之后，芭，X表示n个详细的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统iti设再，/，/为总体的一个样本，称 = ( x1,x2,xn)为样本函数，其中。为一个连续函数。假如中不包含任何未知参数，则称0 (王，/，X”)为一个统计量。常见统计量及其性质_1样本均值x = -yx.几i=l样本方差s2 = (z X)2. -1 z=样本标准差S=-j(x,-x)2.样本k阶原点矩1 Mk =-x： ,k = 1,2,.几i=l样本k阶

11、中心矩1_M =一(七一幻 Z = 2,3,. /=1 cr2E(X) = , D(X) =，nE(S2) = 2, E(S*2) = -2,n其中S*2 =L之(X： 一5)2 ,为二阶中心矩。(2)正态总体下的四大分布正态分布设玉，.为来自正态总体NO/，/)的一个样本，则样本函数茂rN(O,l). / Nt分布设王，马,x 为来自正态总体NT，/)的一个样本，则样本函数加于X- /八t7=t(n -1),st yjn其中t(n 1)表示自由度为n 1的t分布。/分布设再，相为来自正态总体NG/,/)的一个样本，则样本函数的 5 1)52卬一,z 1),b其中/2( 1)表示自由度为nT的,?分布。F分布设司2,x为来自正态总体N(,b：)的一个样本，而H，为，尤为来自正态总体N(,3)的一个样本，则样本函数def S12 / ,2W-/2-1)，3 2 /7其中1为_12_S=X),s；=( y)2;% - 1 =1 % - 1 /=12% -1,2 1)表示第一自由度为 1，其次自由度为% 1的F分布。(3 )正态总体下分布的性质文与Sz独立。