线性代数期末考试试卷-答案合集详解.docx

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1、X大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1.10-1-352X-22.若齐次线性方程组Ax1+x2+x3=0Y1+Ax2+%=0只有零解，则力应满足一x1+x2+x3=03.已知矩阵A,B,C（Cij）sxnf满足AC=CB,则A与5分别是.阶矩阵。4.矩阵A=(、21a22。32)的行向量组线性.5.阶方阵A满足A23A=0,则AT=二、判断正误（正确的在括号内填“J，错误的在括号内填“义”。每小题2分，共10分）1.若行列式。中每个元素都大于零，则。0。（）2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（）3.向量组外,出根中，如果%与6W对应

2、的分量成比例，则向量组。1，电见线性相关。4.0100100000010010，则AT=A。（）5.若X为可逆矩阵A的特征值，则AT的特征值为X。（）三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分）22向2.维向量组a1,as（3sn）线性无关的充要条件是（)o4,a2,4中任意两个向量都线性无关4,。2,，&中存在一个向量不能用其余向量线性表示ava?&中任一个向量都不能用其余向量线性表示av%,&中不含零向量3 .下列命题中正确的是（）o任意个+1维向量线性相关任意个+1维向量线性无关任意+1个孔维向量线性相关任意几十1个维向量线性无关4 .设A,3

3、均为n阶方阵，下面结论正确的是（）o若A,3均可逆，则A+5可逆若A,3均可逆，则AB可逆若A+5可逆，则A5可逆若A+5可逆，则A,B均可逆5.若匕，v2,v3,匕是线性方程组AX=O的基础解系，贝|匕+%+%+匕是AX=O的()解向量基础解系通解A的行向量四、计算题（每小题9分，共63分）x+abcdax+bcd1.计算行列式Oabx+cdabcx+d解x+abCdx+a+b+c+dbcdax+bCdx+a+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdabCx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcd0x00=(x+a+b+c+d)=(x+a+b+c+d)

4、=(x+a+b+c+d)x31bx+cd00x01bcx+d000x04,(A-2E)T302.设AB=A+26,且A=I112-1-12-2-1-111-2-2-3-2235B=(A-2Ey1A=4-2设B=f1001100110)01,C=(2130210024、31且矩阵X满足关系式X(C-5)=瓦求001J1002)3.Xo(13A1)1a22114.问Q取何值时，下列向量组线性相关？%=2,=a，。3=2O11a2)2)I)x1+x2+X3=2-35.2为何值时，线性方程组4x1+Ax2+X3=-2有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有X1+X2+x2无穷多解时求其通解。当21且X-

5、2时，方程组有唯一解;当4=-2时方程组无解Q00、7.设A=010,求A的特征值及对应的特征向量。1021J五、证明题(7分)若A是阶方阵，且4=/,网=1,证明a+=o其中/为单位矩阵。XX大学线性代数期末考试题答案一、填空题2.213.SXS，nn4.相关5.A-3E二、判断正误1.2.三、单项选择题1.2.Q四、计算题1.1.53.4.5.3.4.5.x+abcdx+a+b+c+dbcdax+bcdx+a+b+c+dx+bcdabx+cdx+a+b+c+dbx+cdabcx+dx+a+b+c+dbcx+d1bcd1bcd1x+bcdOxOO=x+a+b+c+d=(x+a+b+c+d)=

6、(x+a+b+c+d)x31bx+cdOOxO1bcx+dOOOx2.(A-2E)B=A(A-2E)T2-1-12-2-1-1115B=(A-2E)1A=4-2-2-2-3-2231234100001232100C-B=001232100001_43211000-一1000(C-B)I1=-21001-210,X=W(Cd)T=-21001-21001-2101-214.1 1ci2 2j1116pCI2,a(21+1)2(2tz2)当=或=1时，向量组,a?,22821 1C12 2线性相关。5.当X1且4-2时，方程组有唯一解;当丸=2时方程组无解12131213一121349010014

7、-2014-2(Q,4)=11-3-70-34-100016160-31-7_0-31-7_00-13-131OOO1O-001000-2210则r(a1,生，%)=3，其中1，死，。3构成极大无关组，4=2+2%3100E-A=002-1021=(I-I)3=0000o特征值4=-2-j4=1,对于入I=1,iE-A=0000-20,特征向量为左0+/01五、证明题A+I=A+AAr=A+A1=-(/+A)=-(/+A)2(+Aj=0,1(+A)=0一、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1、设A,3为n阶方阵，满足等式AB=O,则必有

8、()(A)A=O或5=0;(B)A+B=0;(C)IH=O或忸=0;(D)A+B=0o2、A和5均为儿阶矩阵，(A+B)2=A2+2AB+B2,则必有()(A)A=E；(B)B=E;(C)A=B.(D)AB=BAo3、设A为机X矩阵，齐次方程组AX=O仅有零解的充要条件是()(A)A的列向量线性无关；(B)A的列向量线性相关；(C)A的行向量线性无关；(D)A的行向量线性相关.4、阶矩阵A为奇异矩阵的充要条件是()(A)A的秩小于(B)A0；(C)A的特征值都等于零；(D)A的特征值都不等于零；二、填空题(本题共4小题，每题4分，满分16分)5、若4阶矩阵A的行列式网=-5,A*是A的伴随矩阵

9、，则卜*/o6、A为阶矩阵，A2-A-2E=0,贝!j(A+2E)T=a+2x2=3无解,口27、已知方程组23Ja8、二次型/(再,%2，%3)=2x；+3%；+M+2%2+2%3是正定的，则才的取值范围是o三、计算题(本题共2小题，每题8分，满分16分)1+x111、.1rm11X119、计算仃列式。=111+y11111-y10、计算阶行列式M+3XrI%x2+3ZUn一乙+3四、证明题(本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程)11、若向量组%,%，%线性相关，向量组%,%,%线性无关。证明：(1) %能有%，a3线性表出；(2) %不能由%,%,%线性表出。12、设A是阶矩

10、方阵，后是阶单位矩阵，A+E可逆，且/(A)=(石-A)(石+人尸。证明(1) (E+f(A)(E+A)=2E;(2) /(J(A)=Ao五、解答题(本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤)200、13、设A=。32,求一个正交矩阵尸使得PTA尸为对角矩阵。1023)x1+x2+x3=O14、已知方程组1%+2%+陋=。与方程组%1+2%2+%3=-1有公共解。x1+4x2+2x3=0求的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知小,29%是它的三个解向量，且=4，z+3求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1C；2、D；3、A；4、Ao二、填空

11、题5、-125;7、-1；三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得:1-xO第二列减第一列，第四列减第三列得:（4分）按第一行展开得-%1OD=xOjO01y按第三列展开得XD=-xy=x2y2o（4分）1y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子5,+3，再通过行列式的变换化为上三角形行列式DfI=+3X2X2+3（4分）乙+3（4分）四、证明题11、证明：（1）、因为%线性无关，所以。2，%线性无关。，(4分)又,%,%线性相关，故必能由的,%线性表出。r(a1，a2,a3)=3,（2）、（反正法）若不，则应能由4，的，%线性表出，不妨设%=KaI2。2+%3。3由（1）知，%能由