模式识别与机器学习-习题及答案汇总 第1--7章 绪论--- 核方法和支持向量机.docx

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1、绪论习题1 .举例说明模式和模式识别的概念。答：模式是一个由数据组成的特定的方式，通常表示一种规律或者特征。比如，在图像识别中，模式可能指的是图像中的特定形状、颜色或者纹理。在文本中，模式可能指的是特定的词组、句子或者文章结构。模式识别则是通过计算机算法来识别这些模式的自动化过程。2 .论述完整模式识别过程的主要阶段和操作（从在客观世界中采集模式样本到将模式样本区分为不同的类）。答：模式识别过程的主要阶段包括：数据预处理、特征提取、分类器设计、分类决策等。首先，在客观世界中采集模式样本，这些样本可能包含各种不同的特征和信息。然后进行数据预处理，包括数据清洗、标准化等操作。接下来，进行特征提取，

2、将原始数据转化为可以用于分类的特征。然后设计分类器，根据这些特征将样本分为不同的类。最后，根据分类器的输出进行分类决策，得到最终的分类结果。3 .为了完成一次肝病分析研究，对100名肝病患者化验肝功得到了10个原始数据。之后，经过分析综合，对每名患者得到了碘反应和转胺酶等5个主要数据，最后根据其中的3个数据将患者区分为甲肝和乙肝各50名。对于该过程，什么是模式样本?共抽取了几个样本?这些样本被区分成了几个类?每个类含几个样本?模式空间、特征空间和类空间的维数各是多少？答：在这个肝病分析研究中，每个患者的5个主要数据可以看作是一个样本，所以共抽取了100个样本。这些样本被区分成了甲肝和乙肝两个类

3、，每个类包含50个样本。模式空间是所有可能样本的集合，特征空间是所有可能的特征的集合，类空间是所有可能的类的集合。在这个问题中，模式空间是100维的，特征空间也是10维的，而类空间是2维的。4 .说明模式识别系统的组成，以及训练过程和判别过程的作用与关系。答：模式识别系统通常包括以下组成部分：数据预处理、特征提取、分类器设计和分类决策。训练过程主要是指通过训练数据来训练分类器，使其能够根据输入的特征进行分类。判别过程则是利用已经训练好的分类器对新的输入数据进行分类。训练过程和判别过程是相互关联的，因为训练过程中所学习的特征和规律可以被用来指导判别过程中的分类决策。5 .结合实例谈谈你对机器学习

4、的认识，给出几种机器学习的主要方法及其特点。答：机器学习是一种通过让计算机自动从数据中学习规律和模式的方法。它通常包括以下几种主要方法：监督学习、无监督学习和强化学习。在监督学习中，我们提供了一组带有标签的训练数据，让计算机通过这些数据学习如何对新的输入数据进行分类或回归。无监督学习则是让计算机从没有任何标签的数据中学习其内在结构和规律。强化学习则是通过让计算机与环境交互并从中获得奖励或惩罚来学习如何做出最优的决策。6 .写出正态分布中的类概率密度函数表达式，并给出其边缘概率密度函数；假设随机向量的各个分量彼此无关，给出类概率密度函数及其边缘密度函数之间的关系（类数量为c）。答：正态分布是一种

5、常见的概率分布，它的类概率密度函数表达式为：f（x）=exp-（x-）/2J（2冗）其中U是均值，。是标准差。假设随机向量的各个分量彼此无关，则对于一个具有P个分量的正态随机向量X=(X1,X2,XP)AT,其类概率密度函数为：f(x)=exp-(x1-1)2。12-(x2-2)2。22-.-(p-p)2。p2。1。2.opJ(2n)其中i和Oi分别是Xi的均值和标准差。边缘概率密度函数则是将类概率密度函数中的某些变量积分掉后得到的结果，这里不做详细介绍。类数量为C时，类概率密度函数与边缘概率密度函数之间的关系为：f(x)=c*f(x)dx其中f(x)是类概率密度函数，dx是边缘密度函数。7

6、.证明正态随机向量的线性变换y=Ax仍是正态分布的，其中A是非奇异线性变换矩阵；给出y的均值向量和协方差矩阵与X的均值向量和协方差矩阵之间的关系。答：对于一个非奇异线性变换矩阵A,如果我们将一个正态随机向量X=(X1,X2Xn)AT进行线性变换得到Y=AX=(YI,Y2,.,Yn)AT,那么Y仍然是正态分布的。这是因为正态分布具有旋转不变性，即经过任何非奇异线性变换后仍然是正态分布。对于Y的均值向量和协方差矩阵与X的均值向量和协方差矩阵之间的关系，我们可以使用线性变换的性质得到：EM=AE凶，covY=AcovXAT其中EX和CoV凶分别表示X的均值向量和协方差矩阵，EY和covY分另IJ表示

7、Y的均值向量和协方差矩阵。8 .假设变量X和Z彼此无关,证明它们的和的均值和方差满足Ex+z=ExEz和varx+z=varx+varz答：如果变量X和Z彼此无关，那么它们的和的均值和方差分别满足Ex+z=Ex+Ez和varx+z=varx+varz这是因为X和Z的方差分别为varx和varz,它们之间没有相关性,所以它们对x+z的方差的贡献是独立的。同样地,x和Z的均值分别为Ex和Ez,它们对x+z的均值的贡献也是独立的。因此，x+z的均值和方差分别等于X和Z的均值和方贝叶斯统计决策习题1 .利用概率论中的乘法定理和全概率公式，证明：贝叶斯公式略对于两类情况,P(a;|x)+P(2x)=1o

8、答：为了证明中的等式，我们需要利用概率论中的乘法定理和全概率公式。首先，根据乘法定理，我们有：P(a;|x)=P(a;x)/P(x)P(a2)=P(a2x)P(x)根据全概率公式，我们有：P(a;x)+P(aM=P(x)P(a;)+P(a2)=1将上述公式代入P(a;x)+P(a2x)=1中，得到：(P(a;x)/P(x)+(P(a2)/P()=1根据全概率公式，我们有：P(a;x)+P(aM=P(x)所以，我们可以得到：(P(a;x)/P(x)+(P(a2)/P()=1(P(ajx)+P(a2)P()=1P(x)/P(X)=1因此，P(ajx)+P(a2)=1f&A1.2 .分别写出两种情况

9、下的贝叶斯最小错误率判别规则：两类情况,且P(X1q)=P(XIa2)o(2)两类情况,且p(ax)=p(a2)。答：接下来，我们根据两类情况下的贝叶斯最小错误率判别规则来计算：对于两类情况,且P(XIq)=P(XIa2),我们有：P(0.4*x)=0.38P(0.6*x)=0.62最小错误率判别规则为：如果p(0.4*ix)p(0.6*x),则判定为0.4类；否则判定为0.6类。此时的错误率为：0.47对于两类情况，且p(ax)=p(a2),我们有：P(OSx)=0.5P(0.5x)=0.53 .两个一维模式类的类概率密度函数如下图所示，假设先验概率相等，用07损失函数：导出贝叶斯判别函数。

10、求出分界点的位置。判断下列样本各属于哪个类：0,2.5,0.5,2,1.5o略4 .试写出两类情况下的贝叶斯最小风险判别规则及其判别函数和决策面方程，证明该判别规则可以表示为若E(X%)(%-4)P(吗)则*wP(X1*)G-4JP(修)式中，儿,乙,乙，4为损失函数(生呵),八1,2.若4产=04?=4，证明此时最小最大决策面使得来自两类的错误率相等。略5 .似然比是随机变量，对两类问题/(X)=A1闻，证明：P(XI%)JEI(x)I-Et(x)I.(2) E(x)=1.(3) E1(x)QA-/(x)I2注意：方差Var(X)=Ex-E(*)f.略6.对属于两个类的一维模式，每个类都是正

11、态分布的，且两个类的均值分别是二O和电二2,均方差分别是。1二2和。2二2,先验概率相等，使用07损失函数，绘出类概率密度函数及判别边界；若已得到样本-32,1,3,5,试判断它们各属于哪个类。答:为了解决这个问题,我们可以使用高斯朴素贝叶斯分类器。给定两个类$C$和$C_2$,每个类都是正态分布的，我们可以使用以下公式来表示类条件概率密度函数和类条件概率密度函数：$p(x|C_1)=N(0,2)$p(x|C_2)=N(2,2)$其中$N(mu,sigma2)S表示均值为$mu$,方差为Ssigma2S的正态分布。接下来，我们需要计算先验概率$P(C)$和$P(C_2)$。由于题目中说两个类的

12、先验概率相等，因此：$P(C_1)=P(C_2)=0.5$最后，我们需要计算后验概率$P(Ji1x)$,并选择最大的后验概率作为样本$x$的类别。现在，我们根据题目中给出的样本值$-3,-2,1,3,5$,分别计算它们属于哪个类。样本$-3$的后验概率如下:frac1sqrt2pitimcsO.0466=O.0233$frac1sqrt2pitimcsO.0466=O.0233$P(C_1|-3)=0.5timese(-frac(x-0)2(2times2dx=0.5$P(C_2|-3)=0.5timese-frac(-2)22times2dx=O.5因为$P(C|-3)=P(C_2|-3)$

13、,所以样本$-3$无法确定属于哪个类。样本$-2$的后验概率如下：$P(C_1|-2)=0.5timese-frac(-0)22times2dx=0.5frac1sqrt2pitimcsO.1354=O.0677$P(C_2|-2)=0.5timese(-frac(x-2)2(2times2dx=O.5frac1sqrt2pitimcsO.1354=O.0677$int-20int_-20因为$P(C_1|-2)=P(C_2|-2)$,所以样本$-2$无法确定属于哪个类。样本$1$的后验概率如下:$P(C_111)=O.5timesfrac1sqrt2piint-1Oe-frac(x-O)22

14、times2dx=O.5timesO.4772=O.2386$P(C_211)=O.5timesfrac1sqrt2piint-1Oefrac(-2)22times2dx=O.5timesO.4772=O.2386$因为$P(C_1|1)=P(C所以样本$1$无法确定属于哪个类。7.假设已经得到两个类的二维模式样本：明：(0,0)r,(2,0)(Z2)T,(0,2)Yfir(4t4).(6,4)r,(6,6),(4,6)两个类均服从正态分布，且先验概率相等.(1)求两个类之间的决策面方程.(2)绘出决策面。略8.在MN1ST数据集上，利用贝叶斯决策理论的相关知识实现手写数字的识别算法，分析主要参数变化对识别结果的影响。答：在MNIST数据集上，我们可以利用贝叶斯决策理论来构建一个手写数字识别算法。贝叶斯决策理论基于贝叶斯定理，通过计算后验概率来做出决策。在这个问题中，我们可以使用高斯朴素贝叶斯分类器，因为手写数字的形状可以看作是各种高斯分布的组合。以下是一个基本的实现步骤：1 .导入所需的库和数据集2 .利用训练数据集训练朴素贝叶斯分类器3 .使用测试数据集评估分类器的性能主要参数包括：高斯分布的个数、高斯分