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1、专题13正方形与45角的基本图一、单选题1 .如图，已知正方形ABCD的边长为BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF,延长EF交AB于G,连接DG,现在有如下4个结论：AG+EC=GE;NGDE=45。；GE的周长是一个定值；连结FC,ABFC的面积等于人/C.在以上4个结论中，正确的是()2A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD=DF,ZA=ZGFD=90o,于是根据“H1”判定RUADG乌Rt-FDG，再由GE=GF+EF=AG+CE,从而判断，由对折可得：NCDE=NFDE,由RsAIX泾RMFDG,可得：NADG=NFT)G,从而可判断，设A
2、G=,CE=则BG=2-a,BE=12,GF=a,EF=b,利用三角形的周长公式可判断，如图，连接CF,证明ABCF是直角三角形，从而可判断，从而可得本题的结论.【详解】解：由正方形ABC。与折叠可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90o,EC=EF9：.ZDFG=ZA=90o,RhADG冬RfdFDG(H1),故正确；由对折可得：NCDE=NFDE,RhADgRtdFDG,故正确：设AG=a,CE=b,则BG=2-a,BE=12-Z?,GF=a,EF=b,所以：ABGE的周长是一个定值，故正确，如图，连接CR由对折可得：EF=EC,故正确.综上：都正确.故选D【点睛】本题考查的是正方形的
3、性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键.2.如图，正方形ABCO和正方形OEFO的顶点A,E,。在同一直线/上，且E尸=J7,AB=3,给出下列结论：NCoo=45。，AE=5,CF=3。=后,厂的面积SzCO7=3,其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据正方形的性质和平角的定义可求NCOD；根据正方形的性质可求OE,再根据线段的和差关系可求AE的长；作DHJ_AB于H,作FG_1CO交CO的延长线于G,根据含45。的直角三角形的性质可求FG,根据勾股定理可求CF,BD,即可求解；根据三角形面积公式即可求解.【
4、详解】解：VZAOC=90o,ZDOE=45o,ZCOD=180o-ZAOC-ZDOE=45o,故正确；.EF=a,OE=2.VAO=AB=3,AE=AO+OE=2+3=5,故正确;作DH_1AB于H,作FG_1CO交Co的延长线于G,则FG=I,cf=7fG2+CG2=i=,BH=3-I=2,DH=3+1=4,BD=16+4=25，故错误：3ZXCOF的面积SACOF=-31=-,22故错误；故选:B.【点睛】本题考查了正方形的性质，含45。的直角三角形的性质，三角形面积，勾股定理，平角的定义，综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键.3.如图，在正方形有ABCO中，E是AB上的
5、动点，（不与A、8重合），连结。E,点A关于OE的对称点为尸，连结M并延长交BC于点G,连接。G,过点E作七_1OE交OG的延长线于点“，连接BH，那么些的值为（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明ADAEgaENH,得AE=HN,AD=EN,再说明BNH是等腰直角三角形，可得结论.【详解】如图，在线段AD上截取AM,使AM=AE,VAD=AB,DM=BE,点A关于直线DE的对称点为F,，ZXADEgZXFDE,DA=DF=DC,ZDFE=ZA=90o,N1=N2,ZDFG=90o,在RsDFG和RSDCG中，DF=DC*DG=DGRtDFGgRSDCG(
6、H1),Z3=Z4,：ZADC=90o,.N1+2+N3+4=90,2Z2+2Z3=90o,：N2+N3=45。，即NEDG=45。，VEH1DE,ZDEH=90o,DEH是等腰直角三角形，.*.ZAED+ZBEH=ZAED+Z1=90o,DE=EH,/.Z1=ZBEH,在乙DME和EBH,DM=BEDE=EHDMEEBH(SAS),EM=BH,RIAAEM中，ZA=90o,AM=AE,EM=2AE，BHf：BH=0AE，即F7=立AE故选：B.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形
7、全等.4.如图，在正方形ABCD内作尸=45。，AE交BC于点、E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作尸，垂足为点，将AD尸绕点A顺时针旋转90。得到ABG,若BE=4,DF=6,则以下结论：AAD/二AHF,A7=EF,A=2亚，SCEr=24,正确的个数有（）AF3A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用正方形的性质与旋转的性质证明再证明AAFH当AFD,判断，利用全等三角形的性质与勾股定理先求解正方形的边长，再分别求解EEAH,判断，再利用勾股定理计算A,A尸，判断，通过计算Szsc,判断.【详解】解：由旋转的性质可知：AF=AG,ZDAf=ZBAG.Y四边形ABCD为正
8、方形，：.ZBAD=90o.又.NEAF=45,ZBAE+ZDAF=45o.ZBAG+ZBAE=45o.ZGAe=ZFAE.在乙GAEFAE中AG=AFJAH2+FH236+144.Seo=；CEC产=gx8x6=24.故正确.综上：正确，故选C.【点睛】本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.二、解答题5.已知：四边形ABCD为正方形，AN是等腰R也，ZAMN=90.（1）如图：当RAW绕点A旋转时，若边AM、AN分别与BC、CO相交于点E、F,连接E尸，试证明：EF=DF+BE.（2）如图，当心AW绕点4旋转时，若边AM、A
9、N分别与3C、Co的延长线相交于点E、F，连接M试写出此时三线段所、DF、BE的数量关系并加以证明.若CE=6,DF=2,求：正方形ABCo的边长以及AA所中AE边上的高.【答案】（1）证明见解析：（2）EF=BE-DF,证明见解析；26【分析】（1）延长CB到G,使BG=DF,连接AG,根据正方形性质得出AD=AB,ZD=ZABG,根据全等三角形的判定推出即可；(2)EF=BE-DF,理由是：在BC上取BG=DF,连接AG,证ABGgAADF,FAEgEAG即可；过F作FH1AE于H,设正方形ABCD的边长是x,则BC=CD=x,EF=GE=BC-BG+CE=x+4,在RtFCE中，由勾股定
10、理得出方程(X+4)2=(x+2)2+62,求出X后再求出FH即可.【详解】(1)证明：如图1,延长CB到G,使BG=DF,连接AG,图1四边形ABCD是正方形，ZD=ZABC=ZDAB=ZABG=90o,AD=AB,ADFWABG中，AD=ABND=NABG,DF=BGADFABG(SAS),AG=AF,ZDAf=ZBAG,/ZEAF=45o,：.ZEAG=ZEAB+ZBAG=ZEAB+ZDAF=45o,：.ZEAF=ZEAg,VAE=AE,EAFEAG,：.EF=EG=EB+BG=EB+DF.(2)二线段所、DF、BE的数量关系是：EF=BE-DF,理由如下:如图2,在BC上取一点G,使B
11、G=Z)F连接AG，同(1)可证A45GgADF,AG=AF,ZDAf=ZBAG,AAMN是等腰直角三角形,.ZMVA=ZN=45。，：,NMD+NZME=45。，NDAE+NEAG=45。， NDAB=90。， ZGAE=90o-45o=45o=ZFAE,AF=AG在AME和AGAE中，VZFAM=45o,FH=2AF=2/1210=25，22即AEF中AE边上的高为26【点睛】本题考查旋转综合题、正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.6.如图，AB=AD=BC=DC,ZC=
12、ZD=ZABE=ZBAD=90of点、E、尸分别在边3C、CD上,NEAF=45。，过点A作NG45=NT,且点G在CB的延长线上.(1) AGAB与AMQ全等吗？为什么？(2)若DF=2,BE=3,求所的长.【答案】(I)GABFAD,理由见解析；(2EF=5【分析】(1)由题意可得NA8G=/D=90。，进一步即可根据ASA证得GAB=布；(2)由(1)的结论可得AG=ARGB=DF,易得N84E+ND47=45o,进而可推出NGAE=/E4F,然后利用SAS即可证明ZiGAEg的七，可得GE=ER进一步即可求出结果.【详解】解：(1)NO=NABE=90。，点G在CB的延长线上，：NAB
13、G=ND=90。，在乙GAB。中，Y4GAB=4FAD,AB=AD,NABG=ND,MGAB%FAD(ASA)；(2) VGBMD,：.AG=AFfGB=DF,VZBAD=90o,NEA尸=45。，：ZBAE+ZDAF=45ofZBAE+ZGB=450,即NGAE=45。，：.ZGAE=ZEAFf在AGAE1砌E中，VAG=AF,ZGAE=ZE4F,AE=AEf(SAS),：.GE=EFtVGE=GB+BE=DF+BE=2+3=5,EF=5.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.7.如图，在矩形ABC。中，NEA。的平分线交BC于点E,EFj,AD于点/，QG_1AE于点G,DG与EF交于点O(1)求证：四边形45瓦是正方形；(2)若Ar)=A石，求证：AB=AG;
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