雅可比行列式的应用.docx

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1、雅可比行列式的应用摘要：本文讨论了雅可比行式的定义和性质在热力学的推导及证明中的应用，同时给出了雅可比行列式在应用中的解题步骤.关键词：雅可比行列式；孤立的均匀物质系统；平衡稳定性条件.1引言雅可比行列式就是行列式在物理学中的一个最重要的作用，它是热力学进行导数运算的一个有效工具。在这个体系中利用不同的数学手段和方法寻找理论推导过程总会得到殊途同归的效果。在热力学与统计物理中，雅可比行列式是热力学进行导数运算的一个有效工具，是循环关系、链式关系、倒数关系，复合函数求导这些方法及它们之间的综合运用是一种等价形式。因此，雅可比行列式广泛应用于各种热力学关系式的推导及证明中。在我们采用雅可比行列式变

2、换的方法来解决热力学关系式证明问题时，可以明显感觉到雅可比行列式这一有效工具的运用能大大减化推导步骤，更加明确推导思想且易于掌握。我们可以采用雅可比变换的方法解决所有的热力学一阶偏导的转换及其热力学关系式的证明问题。2雅可比行列式的定义及其性质2.1 雅可比行列式的定义雅可比行列式不同于其他行列式，它的构成元素是偏微分。设独立变量的函数, y有：x x(a,)yya.)用J(x, y)表示x, y的行列式，即：ba) 6则称J(x,y)为雅可比行列式。雅可比行列式的另一种表示形式为:2.2 雅可比行列式的性质性质 2. 2. 1 J(x,y) = J(y-x) = J(-y,x) =-J(y,

3、x)性质 2.2.2 J(x,x) = J(y,y) = O.性质 2.2.3 Jkxyk2y) = kk2J(x, y).性质2.2.4设有Z = Z(a,0,则y= J(y,z)x)2 J(,z)证明：/?可看作是, y的隐函数，则I a = a(x, y) = x. y)(2-1)故 z = z(, ) = za(x, y), (x, y)由复合函数求导公式得：z z da x 81，x da x x(2-2)为了求出(2-2)式中的辿，/，对(2-1)式求x的偏导:x x(2-3)明x_ 3ax y x y a da 由(2-3)得：da x 8x y x y da da 5将所求得的

4、丑，里代入(2-3)式得：x xzyzyz _ dadaxxyxydada同理有:zxzxz _dadayxyxydada故:(zzSya庇、小，xJ(yz)J( Z)oa)性质2.2.5将雅可比行列式应用于全微分关系式：dx = Mdy- Ndz 中，有：J(x,d) = MJ(y,d) + NJ(z,d).证明：对全微分式两边同时除以a,有r xz由性质4有:3 = 3m+3nJ(6 J(Q (Tz)故:J(x+z) = MJ(y) + NJ(zd)由于:xOyJ( Z)J(yz)x0,牖判据是指系统在内能U和体积V不变的情形下，稳定平衡态的燧S最大.假设我们研究的是一个由子系统和媒质构成

5、的孤立系统，以不带下标的量表示子系统的热力学量，带有下标0的量表示媒质的热力学量，如图1所示：媒质子系施图3T由子系统和媒质构成的孤立系统对于整个孤立系统中的内能U和体积V保持不变，它的稳定平衡状态满足:氏=0(3-1)2S G(3-2)当代的一级变等于零可得系统的平衡条件7 =P =外,这里不再赘述.在U和R保持不变的情形下,发生虚变动时有u =0v + vo=o由嫡判据可知，如果整个系统燧函数的二级微分小于零，即2s=2s-2so G,%v),当发生虚变动使子系统的内能和体积有比和的改变时,有%Sov 网2S = (U- + V- s=(1 U V)l将(3-4)式化为标准二次型得:4)2

6、 + 2(-UV + (l(z)2 0J2)UV)su2)(34)2s YUV 1、 11 (W)20(2sU2因此，So可以忽略，(3-3)式近似为此1b2s0o将S看作U,V的函数S=S(U, V),对S作二元泰勒展开，并取二次项为（3-5）由于U,V是独立变量，要使（3-5）式成立必同时满足旦、su)0,(3-6)2SJ2Suev,0su2)(3-7)IP由关系式dS = dU HdV,显然有1F,TTSU(3-8)S正P=斤（3-9）将（3-8）式代入（3-6）式得2S6T、U2UT22C-0v(3-10)考虑到0,则cv 0（2S2S(3-12)用矩阵表示（3-12）式为2s IdU

7、dV_2S uVV (pyUJ,u)(V9U)(-,-) I 2sV2SUVJ_1 ( PyTcv)0(3-13)由(3-11)和(3T3)式得:(3-14)综合考虑(3-11)和(3-14)式，要使对于各种可能的虚变动都小于零，必有：(3-15)则(3-15)式称为均匀系统的平衡稳定性条件。与传统方法相比，这种应用雅可比行列式的推导过程简明思路清晰，易于理解。3.2 根据内能判据，推求平衡稳定性条件内能判据指系统在燧S和体积V不变的情形下，稳定平衡态的内能U最小。将内能判据用于同样的，由子系统和媒质构成的系统,在整个系统的嫡6和体积户保持不变的条件下，它的稳定平衡状态满足：U =0(3-16)d2 0(3-17)在3,。不变的情形下，发生虚变动时，有阳+砥。=0(3-18)V + SV=Q(3-19)整个系统内能U为极小要求：2O = s2u+s2uo(3-20)由于媒质比子系统大得多(G% g,V0V),当发生虚变动使子系统的嫡和体积有力和.改变时有J2t700(3-21)将U看作S,V的函数，作二元泰勒展开2U =2US2)2+2JSV(3-22)可以证明(3-