(人教A版选择性必修第二、三册)7.2-7.3离散型随机变量-(教师版).docx

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1、离散型随机变量知识剖析一离散型随机变量及其分布列1随机变量概念一般地，对于随机试验样本空间。中每个样本点必都有唯一的实数X)与之对应，我们称X为随机变量.分类随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量.Eg:投掷一个骰子，得到的点数为X,它是离散型随机变量，能够一一列举出来；一人一天摄取的卡路里丫，它是连续型随机变量.2分布列概念一般地，设离散型随机变量X可能取的值为/，%2xi,，xn,X取每一个值=1,2,，几)的概率P(X=xi)=Pt，则称以下表格X%2XnPPiP2PiPn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.性质离散型随机变量的分布列具有下述两个性质(I)Pi。，i=1f2ff

2、n(2)P1+P2+Pn=I3两点分布如果随机变量X的分布列为XO1PI-PP则称X服从两点分布，并称P=P(X=1)为成功概率.二离散型随机变量的数字特征1离散随机变量的均值(数学期望)(1)概念一般地，随机变量X的概率分布列为X%2XiXnPPiP2PiPn则称E(X)=%p1+%2P2+%iPi+%九pr=U%iPi为X的数学期望或均值，简称为期望.它是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)若Y=QX+b,其中Q力为常数，则丫也是变量YaX1+baX2+bQXj+baXn+bPP1P2PiPn则E(Y)=aE(X)+b,即E(aX+b)=QE

3、(X)+。(利用期望的概念可以证明)(3)一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=1p+0x(I-P)=P即若X服从两点分布，贝IJE(X)=p.2离散型随机变量取值的方差和标准差(1)一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为XXi%2XiXnPPiPzPiPn则称D(X)=(%1-E(X)31+(%2-E(X)2p2+(%九-E(X)2Pn=Wa-E(X)2Pi1=1为随机变量X的方差，有时候也记为，(%),并称VW)为随机变量X的标准差，记为。(X)。随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差越小，随机变量的取值越集中；方差

4、越大，随机变量的取值越分散.(2)一般地，DgX+b)=MD(X).(可用方差的概念证明)(3)DX=E(2)-E2(X)证明D(X)=(%-E(X)fp1+(g一E(X)2P?+,+(0-E(X)yPnn=W(阳-E(X)2PiZ=In=W区一2%(X)+2(X)31=1n=WPi-2%tp(X)+E2()pJi=1nnn=WXiPi-W2%iPiE(X)+WE2(X)pti=1i=1i=1=EX)-2E(X)Wxipi+E2(X)nTPii=1i=1=E(2)-2E(X)E(X)+E2(X)-1=E(2)-E2(X)经典例题【题型一】离散型随机变量的分布列性质【典题1】设随机变量f的分布列

5、如表：123456P。3。4aS。6其中的2,、。6构成等差数列，则Q1Q6的()A.最大值为B.最大值为2C.最小值为D.最小值为2936936【解析】1+2+3+4+a5+-1，由等差数列的性质可得的+。6=%所以。步6号B=M所以aq的最大值为1无最小值.36故选:B.【典题2】设随机变量f的分布列为尸(f=9=c(k=1,2,3,4,5),贝U()A.15=1B.P(0,50,8)=0.2C.P(0,10,5)=0.2D.P(=1)=0.3【解析】由题意可得+2q+3q+4+5Q=1,即15Q=1故Z正确；P(0.50.8)=Pe=I)=3=2=0.2,故B正确；P(0.10.5)=P

6、C=+p(f=a=卷x1+2x2=2=0.2,故C正确；P(S=I)=卷x5=IW0.3,故。不正确.故选：ABC.【点拨】离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：(1) Pi0fi=1f2f，n(2)Pi+p2+=1巩固练习1()若随机变量X的分布列如表:X-3-20123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xn)=05时，Tn的取值范围是()A.m2B.0m1C.0m2D.1m2【答案】B【解析】由题意可得P(XV2)=0,尸(XVo)=O.3,尸(XVI)=O.5,则根(0,1.故选：B.2(*)设随机变量f的分布列为尸(f=勺=Qk(c=1,2,3,4),则P(gf3等于()

7、435IIIIA.-B.-C.-D.-5432【答案】D【解析】随机变量的分布列为(f=9=ak(k=123,4),.*.a+2a+3a+4a=1,解得=0.1,PGi)=尸化=+%=；)=2x.1+3x.1=故选：D.3()已知随机变量的分布列为:f-2-10123P134121121212121212若尸(f2%)=,则实数%的取值范围是()A.4%9B.4%9【答案】A【解析】由随机变量的分布列，知:2的可能取值为0,1,4,9,C.X4或9D.X9p(2=o)=n2=n=+=P(M)=+=P(M)=VP(2x)=.实数%的取值范围是4x0.若X的方差OX：对所有Q(0,15)都成立，贝

8、J()1217A.b-B.b-C,b-D.b-3333【解析】依题意Q+&+c=1,故C=1ab,当Q(0,1b)时，故EX=a+c=1b2a,DX=E(2)E2(X)=a+c(C)=a+c(c)+4cj+4acCZ、2=(Q+c)(+c)2+41b-a=(1&)(1b)+41b-a,令1b=3贝服(0,1)DX=tt2+4(t一),(0,t),故4q24at+t2t+10,在Q(0,t)时恒成立，当Q=机寸。X有最小值,故4(g)2-4t+t2-t+0,故tp即一1bV(),故5正确；对于C)=-1+p,当在(0,1)内增大时，E()增大，故C正确；对于O,EI0123()=1+2xm+3x+1.V()=(-)2I+(1-+(X)Xg=-j-2)2+j,当在(0,1)内增大时，V()单调递增，故。错误.故选：BC.【题型三】求离散型随机变量的分布列【典题1】甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的