专题07 一线三垂直与一线三等角（原卷版）.docx

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1、专题07一线三垂直与一线三等角一、基础知识回顾1)三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180。2)1平角=180度二、模型的概述：1)一线三垂直模型模型概述只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45顶点作直线的垂线，构造三垂一线三垂直模型一：如图AB，BC,AB=BC,CEDE,ADDE,贝IJAABDWABCE,DE=AD+EC证明：VCEDE,ADDE,ABBCNCEB=NADB=NABC=90.Z1+Z2=90o,Z2+Z3=90o.*.Z1=Z3在AABD和ABCE中，-NI=N3-ZCEB=ZADB=90oJAABD2ABCE(AAS).*.AD=BE7EC=BD1

2、AB=BC贝!)DE=BE+BD=AD+EC一线三垂直模型二：如图AB,BC,AB=BC,CEDE,ADDE,贝IJAABD至ABCE,DE=AD-EC证明：VCEDE,ADDE,ABBC，.NCEB=NADB=NABC=90.ZA+ZABD=90o,ZABD+ZCBE=90o.*.ZA=ZCBE在AABD和ABCE中，-NA=NCBE-ZCEB=ZADB=90oJAABD2ABCE(AAS).AD=BE7EC=BD1AB=BC贝!DE=BE-BD=AD-EC一线三垂直其它模型1)图1,已知NAOC=NADB=NCED=90,AB=DC,得AADB会ADEC2)图2,延长DE交AC于点F,已知

3、NDBE=NABC=NEFC=90,AC=DE,得AABaADBE2）一线三等角模型模型概述三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。一线三等角类型：VZACP+ZA+ZCPA=180,ZDPB+ZCPD+ZCPA=180oWZCAP=ZCPD=ZPBD=Za.,.ZACP=ZDPbXVCP=PDJAACP2ABPD(AAS)【基础过关练】1 .如下图所示，在国ABC中，ACB=90o,AC=BC,BE团CE于点E,AD团CE于点D.DE=6cm,AD=9cm,贝IJBEA.6cmB.1.5cmC.3cmD.4.5cm2 .如图，在朋BC中，AB=AC=9,点E在边AC

4、上，AE的中垂线交5C于点ADE=B,CD=3BD,则CE等于()3 .如图，AC=CE,ACE=90o,AB0BD,ED0BD,AB=6cm,DE=2cm,则BO等于（）5.如图，,ABC为等腰直角三角形AC=5C,若4(3,O),C(0,2),则点B的坐标为6 .如图所示，ABC中，ABAC,ZBAC=90.直线/经过点A,过点5作BEq于点区过点。作b,/于点?若BE=2,CF=5,则跖=.78 .如图，一个等腰直角三角形A5C物件斜靠在墙角处（回0=90。），若Q4=50cm,OB=28cm,则点。离910 .如图，AB=BC,ABBC,A况Bo于尸，BCCD,求证：EC=ABCD.【

5、提高测试】1 .如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在X轴的负半轴和正半轴上，以AB为边向上作正方形ABCD,四边形QG是其内接正方形，若直线O尸的表达式是y=2x,则:正方形的值为（）D正方形OEFG23 .如图，AE0AB,SAE=AB,BCCD,且BC=CDEF=6,BG=3,DH=4,计算图中实线所围成的图形的面积S是.45 .已知直线/经过正方形ABeD的顶点A,过点B和点。分别作直线的垂线和。N,垂足分别为点M、点N,如果5M=5,DN=3,那么点”和点N之间的距离为.6 .如图，已知ABC中，AB=AC,NBAC=90。，分别过5、。向过A的直线作垂线，垂足分别为区尸.(I)如

6、图1过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段石厂、BE、b的数量关系是；(2)如图2,过A的直线与斜边BC相交时，探究线段所、BE.C厅的数量关系并加以证明；(3)在(2)的条件下，如图3,直线E4交BC于点H,延长BE交AC于点G,连接正、FG、HG,若ZAHb=ZGHC,EF=CF=6,EH=2FH,四边形AB方G的面积是90,求VHC的面积.7 .如图1所示，已知二ABC中，ZACB=90,AC=BC,直线机经过点G过A、B两点分别作直线机的垂线，垂足分别为、F.inin图2Si图3(1)如图1当直线机在A、B两点同侧时，求证：EF=AE+BF;(2)若直线机绕点C旋转到图2所示的位置

7、时(BFAE)其余条件不变，问石尸与AE,所的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明.连接族，尸于,AD_16?于。.(1)求证：AD=BE;8 .如图1在平面直角坐标中，点人(0,间，B(m,0),C(,-m),其中机0,点P为线段上任意一点,(2)当机=3时，若点N(-3,0),请你在图1中连接S,EN交于点Q.求证：EN1CD；(3)若将点尸为线段Q4上任意一点，改为点夕为线段Q4延长线上任意一点，其他条件不变，连接。，EN1CD,垂足为尸，交轴于点交X轴于点N,请在图2中补全图形，求点N的坐标(用含加的代数式表示).9 .在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0),点5为轴正半轴上的一个

8、动点，以5为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰放ABC.(D如图1若0B=3,则点。的坐标为；如图2,若。6=4,点。为Q4延长线上一点，以。为直角顶点，BQ为直角边在第一象限作等腰RtABDE,连接A石，求证：AEAB;(3)如图3,以5为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰放OBF.连接C/，交轴于点P，求线段成的长度.10 .(1)如图(1),已知：在朋BC中，BAC=90o,AB=AC,直线机经过点A,直线a,CE0直线如垂足分别为点。、E.证明团QE=BO+CE.(2)如图(2),将(1)中的条件改为：在MBC中，AB=ACfD、A、石三点都在直线机上，并且有WDA=AEC=B

9、AC=,其中。为任意锐角或钝角.请问结论OE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.11 (3)拓展与应用：如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线机上的两动点(。、A、E三点互不重合)，点尸为1AC平分线上的一点，且尸和朋C厂均为等边三角形，连接跳入CE,BDA=AEC=BAC,试判断国QE尸的形状.12 .(1)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如图1已知：在一ABC中，NBAC=90。，AB=AC,直线/经过点A,直线I,CE1直线/,垂足分别为点DE求证：DE=BD+CE.(2)组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如

10、图2,将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线/上，并且有NBDA=NAEC=NR4C=c,其中戊为任意锐角或钝角.请问结论。石=5。+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高.延长HA交EG于点/.若S方的=7,贝IJ5用=13 .如图，在ABC中，AB=AC=2,B=40o,点。在线段BC上运动(点。不与点5、C重合)，连接AD,作朋。二40。，DE交线段AC于点.(1)当团3。A=I15。

11、时，EDC=o,AED=；(2)线段OC的长度为何值时，AABO酿OC,请说明理由；(3)在点。的运动过程中，AAOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求团3。A的度数；若不可以，请14 .综合与探究：在平面直角坐标系中，已知A(O,a),B(,0)且,Z?满足(-3)2+1-2-I1=O(1)求A,B两点的坐标(2)已知朋BC中AB=CB,ABC=90,求。点的坐标(3)已知AB=JQ,试探究在X轴上是否存在点P,使朋BP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.15 .如图，在,ABC中，AB=BC.CCMN=AM+CN.(2)如图所示，直线MN过点八A

12、M交MN于点f,CN交MN于点N,且ZAMB=ZABC=NBNC,则MN=AM+。V是否成立？请说明理由.16 .通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图10BAD=90o,AB=AD,过点B作BCSAC于点C,过点。作OEwIC于点.由粗+团2=团2+团。=90。，得如=团。.又C3=0AED=9O。，可以推理得到0ABCmQA.进而得到AC=,BC=AE.我们把这个数学模型称为K字模型或一线三等角模型；(2)如图2,0BAD=CAE=90o,AB=AD,AC=AEf连接BC,DE,且BO1产于点RDE与直线A尸交于点G.求证：点G是OE的中点；(深入探究)(3)如图，已知四边

13、形ABCD和OEG厂为正方形，0A尸。的面积为Si,国QCE的面积为S2，则有S1S2(填、=、)(Ei)(图3)17 .已知：CD是经过团BcA的顶点C的一条直线，CA=CB,E、尸是直线CQ上两点，0BEC=CM=.(1)若直线CD经过回5CA的内部，BCDACD.如图1,回BCA=90。，0a=9Oo,写出BE,EF,Ab间的等量关系：如图2,加与MCA具有怎样的数量关系，能使中的结论仍然成立？写出国a与MCA的数量关系(2)如图3.若直线CD经过回BCA的外部，0a=0BCA,中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明.S1证：BC=AE.模型应用如图2,AE1AB且A石=AB,BCCDBC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为.深入探究如图3,ZBAD=ZCAE=90ofAB=ADfAC=AE,连接BC,DE,且5C,AF于点尸，DE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=I2,则4ATG的面积为.