专题17 等差数列、等比数列基本量（解析版）.docx

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1、专题17等差数列、等比数列基本量考点预测1等差数列：定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即为一七_i=d,(n2,nN+),那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数。、4人成等差数列OA=22通项公式：Cin=%+(1)d=am+(n-m)d或%=夕+(夕、q是常数).前项和公式：常用性质：若加+=p+qrn,n.p,qN+),则根+%=%+%；下标为等差数列的项(外,k+m,%+2根，,),仍组成等差数列；数列W%+M(2力为常数)仍为等差数列；若%、依是等差数列，则3、kan+pbn(k,P是非零常数)、叫+即(p,qN*),也成等差数列。单调性：1的公

2、差为d,贝U：i)d01为递增数列；ii) dG2=(q同号)。反之不一定成立。通项公式：QrI=a1qn-1=amqn-m前几项和公式：S=(i)=1-q1-q常用性质若加+=p+q(m,n,p,qN+),贝U%=O,q11a1O,Oq%为递增数列；ai0,0夕1或41=4为递减数列；4=In4为常数列；4%为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列“J的前几项和S”，则又、Sz-k、S3k-S2k.是等比数列.例1(2023河南溪河高中高二期中)在等差数列%和等比数列也中，a1=1fb1=2fbnO(neN*),且4，出，打成等差数列，的，b2,%+2成等比数列.(1)

3、求数列已、2的通项公式;S1n+4(2)设与=，数列g的前项和为工，若St4十%对所有正整数恒成立，求常数/的取值范围.Sn+ZTI【解析】(1)设等差数列4的公差为d,等比数列2的公比为式9。).由题意，得小,解得d=q=3.(2q)2=(i+d)(3+2d)cn=32=2.Sn=c1+c2+.+cn=2(31+32+.+3n)-2H=3n+1-2-3.垦也=它-3Sn+2n3n+1-3.3+132+/恒成立，即O,所以，单调递增.故/(1)=3,即常数/的取值范围是(一*3).例2.(2023.全国高二课时练习)已知公差不为。的等差数列%的首项=2,且4+1、a等比数列.(1)求数列4的通

4、项公式；(2)设勿二，N*,S是数列%的前项和，求使S成立的最大的正整数.anan+119【解析】(I)解：设等差数列%的公差为d,则d0,由题意可得3+1)2=(4+1)(4+1)，即(d+3)2=3(3d+3),整理得可-3d=0,d0,解得d=3,故为=q+(一1)d=3-1.(2)解:11”1anan+1(3-1)(3+2)3(3-13n+2J33由格历得而百,历可得12，3所以，满足S0,4Sn=(+1)2.从这三个条件中任选一个填入下面的横线上并解答.已知数列g是等差数列其前项和为N,N*,若.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)求数列/的通项公式；【解析】若选择条

5、件：设等差数列%的公差为d,fS4=4S214%+6d=4(2%+d)14=1由O1得:G二M/八71,解得:CGa2n=Ian+1G+(2-1)d=2%1)dj+1d=2.an=1+2(n-1)=2n-1.若选择条件：设等差数列%的公差为d,Q4+%=4,+2=4+4,两式作差可得：an+2an=2d=4,解得：d=2；由4+4+=4得：a1+a2=4,即2%+2=4,解得:a1=I9.*.dn=1+2（1）=2h1.若选择条件：当=1时，4S:（“+if,解得：a1=1;当2且N*时，4an=4Sn-4S1=（+1）2（4+1）2,整理可得：（%+q_1）（%见_12）=。，3,%+一1,

6、ar一4_1二2,数列4是以1为首项，2为公差的等差数列，.*.dr=1+2（-1）=21.过关测试一、单选题91121.（2023.福建南安.高二阶段练习）已知数列4满足%=1,%=且+=S2）,则65等于3an+1an-1an（）A.-B.-C.-D.87315【答案】A【分析】根据已知条件构造等差数列即可.【详解】1.12.+=,+1an-1an11_=J1=，=!数列是以:为公差，1为首项的等差数列,an2A=1+14-=8,12. （2023河北唐山一中高二阶段练习）已知数列4满足2/7=4+4+2.若%+%=6,且“8=7,则G二（）A.2019B.2023C.4029D.4038

7、【答案】C【分析】先分析得到数列4为等差数列，再求出等差数列的公差即得解.【详解】解：由数列满足2%m=%+%+2,根据等差中项公式，可得数列4为等差数列，故%+%=2%=6,即4=3,又。8=7=3+2d,d=2,贝IJ%oi9=+201W=7+4022=4029.故选:C3. （2023.江西省安福中学高二阶段练习（理）已知等差数列4的前项和为S“，若24=+6,则邑=（）A.49B.42C.35D.24【答案】B【分析】利用等差数列的通项公式（或性质）由条件得%=6,然后利用等差数列前项和公式结合等差数列性质可求解答案.【详解】解：由2&=。8+6,得：2q+10d=q+7d+6,即+3

8、d=6,Bp=6,所以S7=7.；%）=7%=42故选：B.4. （2023福建省连城县第一中学高二期中）在等差数列/中，+=8,%=6,则数列的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】将已知条件转化为4,d的形式，由此求得【详解】在等差数列4中，设公差为d,a1=2d=24+d+4+5d84+4d=6故选：B1175. （2023.河南信阳.高二期中（理）已知4为等比数列，且4=2,+=,则4的公比4等于O（）2 333A.-B.-C.D.3 222【答案】D【分析】利用等比数列的通项公式，由已知条件可得16/+16/-7=0,即可求公比【详解】Y数列%为等比数列，.%+&=

9、a?/+%/=2（q?+/）=-,即16/+16/117=O,.（4/+13）（4疗9）=0,解得d=;,即4=经检验4=T均满足题意.故选：D.6. （2023.重庆巴蜀中学高二期中）已知公比不为1的等比数列g,其前项和为工,曾=5,则幺=（）J2。2A.2B.4C.5D.25【答案】B【分析】设等比数列4的公比为夕，根据*=5求得d，从而可得出答案.【详解】解：设等比数列4的公比为彘q(1-0贝U*=z=z=1+d=5,所以/=4,S?q(i-q)i-qiq贝小量=#=4.a2axq故选：B.7. (2023.宁夏.六盘山高级中学高二期中(文)已知等比数列4的各项均为正数，且%4+&%=6

10、,则Iog3a1+Iog3a2+Iog3aw=()A.35B.5C.Iog315D.30【答案】B【分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】：叫是各项均为正数的等比数列=。2%=。3。8=%=。5。6，/a5a6+a4a1=6,.,.a5a6=a4a1=3,/.Iog3ai+Iog3a2+Iog3a10=1og3(12a10)=Iog335=5.故选：B8. (2023.河南信阳.高二期中(理)一个等比数列的前项和为3=(1-24)+42,则X=()A.-1B.1C.2D.3【答案】B【分析】讨论4=1求得臬=与题设不符，再由等比数列前项和公式及已知即可求加【详解】当9

11、=1时，6z1=51=(1-22)+22=1,则第=几，显然与题设不符；91,即等比数列不是常数列，aaan-=-2-S=3=(122)+42,则1q,可得4=1.故选：B.二、多选题9. （2023.全国.高二课时练习）已知数列是公比为4的等比数列，且%,4，的成等差数列，则夕的值可能为（）A.工B.1C.-D.-222【答案】BC【分析】根据等差中项列方程，化简求得4的值.【详解】由题意，可知2%=%+。2，即2%q2=%+%g.又%0,*.2/=1+q,.9=1或.故选：BC.10. （2023.江苏.高二专题练习）已知等比数列4的公比为G前4项的和为%+14,且电，4+1，%成等差数列，则4的值可能为（）A.IB.1C.2D.3【答案】AC【分析】根据的,%+1，%成等差数列，以及数列前4项的和为+14,求出内，再根据4，+1，%成等差数列，将各项化为。3和q,进而求出q.【详解】因为电，a3+1,2成等差数列，所以%+%=2（/+1），又因为数列前4项的和为%+14,所以+%+3+&=+33+2=%+14=