专题24 直线与圆锥曲线的位置关系解析.docx

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1、专题24直线与圆锥曲线的位置关系第一部分真题分类221. (2023.天津高考真题)已知双曲线,忘=1(0*0)的右焦点与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,B两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，CD=2AB.则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3【答案】A22【解析】设双曲线点=1SOO)与抛物线V=2px(p0)的公共焦点为(c,0),则抛物线=2px(p0)的准线为-c,令X=一C,则JJ=1，解得y=j所以IABI=手,AObr又因为双曲线的渐近线方程为y=,所以Is1=您,aa所以乏=口至，即C=,所以=92,aa2所以双曲线的离心率e=0.a故选

2、：A.2. (2023.全国高考真题(文)已知GK为椭圆CY+M=的两个焦点，p,Q为C164上关于坐标原点对称的两点，且I尸Q1=闺闾，则四边形尸耳。工的面积为.【答案】8【解析】因为P,。为C上关于坐标原点对称的两点，且IPQI=WKI,所以四边形尸耳。工为矩形，设IPEI=m,PF21=,贝IJ机+=8,m2+2=48,所以64=(加+n)2=m2+Imn+2=48+Imn,机=8,即四边形尸斗。B面积等于8.故答案为：8.3. (2023.江苏高考真题)已知椭圆。：5+/=1(。h0)的离心率为乎.(1)证明：a-6b;(93若点M6-尢在椭圆C的内部，过点M的直线/交椭圆C于尸、。两

3、点，M为线段PQ的中点，且OP，。.求直线/的方程；求椭圆。的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）5-y指=0；工+V=13【解析】（I）e=E=F=，：*=，因此，a=回；22（2）由（1）知，椭圆C的方程为热+方=1,BPx210-I，所以，%+%=731+3y2=3b2,J93当帚一17在椭圆C的内部时，+3-、20,又*OP1OQ,而OP=（石,yj,OQ=（x2,y2）f2（9-3必）27+15_6-6必0，55一解得）2=1合乎题意，故/=32=3,因此，椭圆C的方程为+V=.224. （2023天津高考真题）已知椭圆r+%=1（70）的右焦点为尸，上顶点为离心率为半，且忸石

4、=逐.(I)求椭圆的方程；(2)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与y轴的正半轴交于点N,过N与5尸垂直的直线交X轴于点P.若MPI1BF,求直线/的方程.【答案】(1)y+=1;(2)-y+6=0.【解析】(1)易知点尸(G。)、B(0,b),BF=c2_5.(2023.全国高考真题)已知椭圆。的方程为,+今=1(。万0),右焦点为尸(,0),+2=5,因为椭圆的离心率为6=拽，故c=2,b=ya2-c2=a5因此，椭圆的方程为:+V=I；(2)设点v(,%)为椭圆.+V=1上一点，先证明直线MN的方程为三+为y=1,(+%y=联立；，消去y并整理得2/x+=0,A=4x；4焉=0,X21I-y

5、115因此，椭圆Y+y2=在点M(Xo,%)处的切线方程为g+为y=.1(1在直线MN的方程中，令R=O,可得=一,由题意可知为0,即点N0,%Iy0jb1C1直线5尸的斜率为左迎=-2=-7,所以，直线尸N的方程为=2%+一,在直线尸N的方程中，令y=o,可得即点尸J内,2%I2%)%_2%_J_因为MP忙，贝=,即、一1一2后为+1一一5,整理可得(x0+5%)2=0,XO+7一2%所以，x0=-5y0,因为得+尤=6乂=1,.yoO,故%邛,%=-平，所以，直线/的方程为1+Y1y=1,即-y+C=0.66且离心率为好.3(1)求椭圆C的方程；(2)设N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线V

6、+y2=z72(o)相切.证明：M,N,尸三点共线的充要条件是mn=6【答案】(1)=+/=1；(2)证明见解析.3【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c=且e=逅，所以=1a3丫2又2=2_02=1,所以椭圆方程为三+y2=i;(2)由(1)得,曲线为V+y2=i(0),当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=1,不合题意;当直线MN的斜率存在时，设M(X,%),N(%,%),必要性:0,若M,N,厂三点共线，可设直线肱V:y=Mx)即履岳=由直线AfV与曲线V+y2=iQ0)相切可得=解得左=,FTT联立(x-2)+/=113J可得42-60+3=,所以玉+2%2=：所以I肱VI=T+T./(

7、x1+x2)2-4x1x2=3,所以必要性成立;充分性：设直线MMy=Ax+反(妨V。)即kx-y+b=O,b由直线肱V与曲线/+(。)相切可得=1,所以=左2+1,)t2+1y=kx+b联立%22可得(1+3左2)/+6妨x+3*3=0,丁=6kb3尸3所以下+=一k%=K化简得3(Y1)2=0,所以左=,k1(k=-1_所以Z-2-2,所以直线MN:=或=-+V所以直线MN过点尸(,0),M,N,厂三点共线，充分性成立；所以M,N,尸三点共线的充要条件是IMNI=若.6. (2023.全国高考真题)在平面直角坐标系Xoy中，已知点打卜内,。)、巴(M,0),IM娟眼引=2,点M的轨迹为0.

8、(1)求。的方程；(2)设点T在直线X=；上，过T的两条直线分别交C于A、5两点和尸，Q两点，且TATB=TP-2,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.2【答案】(1)x2-=1(x1);(2)0.16【解析】因为IMIT咋|=20),则2=2,可得=1,=17-a2=42所以，轨迹C的方程为J=1(1);16(2)设点TQ若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线。无公共点，不妨直线AB的方程为yT=即y=kix+t-k1,12联立y:(x+/5%,消去y并整理可得(好_6卜2+匕(2/幻x+！+16=0,16x2-=16I2J设点A(/X)、B(x2,y2),则且由韦达定理可得%+9=

9、器答，+16,匕一16一2二所以，77B=(1+12)xi-x2-=(1+r)Jj,ZZZ4J/C1IO设直线尸。的斜率为心，同理可得ITPH7Q二1+1j)(1+),k216因为ITXHTBI=ITPHTQI,即+j)(+储)=(+1?。+硝,整理可得好=片,/C1O/CqO即(%义)(+&)=。，显然0,故K+左2=0.因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为O.7. (2023.全国高考真题(理)已知抛物线UM=2Q(夕0)的焦点为尸，且尸与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求；(2)若点P在M上，PAPB是C的两条切线，A3是切点，求APAB面积的最大值.【答案】(

10、I)P=2；(2)2G【解析】(1)抛物线C的焦点为尸I尸闾=T+4，所以，尸与圆M：/+(y+4)2=i上点的距离的最小值为六+”1=4,解得夕=2；(2)抛物线C的方程为V=4y,即=,对该函数求导得42设点B(X2,%)、尸(,%),直线的方程为y-X=5(x-xJ,即y=占-M，gpx1x-2y1-2y=0,同理可知，直线PS的方程为2兀-2%-2y=。,由于点尸为这两条直线的公共点，则x1xo-2y1-2yo=OX22%-2%O所以，点A、与的坐标满足方程不冗-2y-2%=0,所以，直线AB的方程为2y2%=0,x0x-2y-2y0=O联立X2，可得/-2入0入+40=O,r由韦达定

11、理可得%十=2,=4%,Ia4*T6%=J(X；+4)(片4%)所以，A5=J1+(+jJ(x1+x2)2-4x1x2=点P到直线AB的距离为d=Bfo1NXO+4所以，SAPAB=J1A同d=J+4)(片4%)J；W=J(片一4%)2,22+424%=1(%+4)2-4j0=-j-12j0-15=-(j0+6)2+21,121由已知可得-5%-3,所以，当为=-5时，ZPAB的面积取最大值X202=20宕.2228. (2023.海南高考真题)已知椭圆C+3),点A为其左顶点，且AM的斜率为，(1)求。的方程；(2)点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.【答案】+2=1;(2)18

12、.1612【解析】由题意可知直线AM的方程为：y-3=(%-2),即-2y=T.当产0时，解得X=T,所以。=4,r2v249椭圆C:.+方=1(h0)过点M(2,3),可得话+乒=1,解得b2=12.22所以C的方程：土+匕=1.1612设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=mf如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时AMN的面积取得最大值.联立直线方程尢-2y=根与椭圆方程二+回=1,1612可得：3(m+2j)2+4=48,化简可得：16+12利+3疗-48=0,=144m2-416(3m2-48)=0,即加=64,解得相=8,与AM距离比较远的直线方程：x-2y=8,直线AM方程为：x-2y=-4,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：2=半=好，1+45由两点之间距离公式可得IAM1=(2+4)2+32=35.所以AAMN的面积的最大值：-35=18.259. (2023.江苏高考真题)在平面直角坐标系Xoy中，已知椭圆月：?+:=1的左、右焦点分别为尸I,尸2,点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2XFiF2,直线AK与椭圆E相交于另一点B.(1)求尸2的周长；(2)在X轴上任取一点