专题25 疾病问题（解析版）.docx

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1、专题25疾病问题例1.某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有5N*）份血液样本，有以下两种检验方式：逐份检验，则需要检验几次：混合检验，将其中左N*且左.2）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这左份的血液全为阴性，因而这左份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这左份血液究竟哪几份为阳性，就要对这左份再逐份检验，此时这左份血液的检验次数总共为人+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为P（O71）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次

2、检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中左（左N*且左.2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为4，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为（/）若E&=E,试求P关于左的函数关系式=f（k）:1（范）若2=1-）“，试讨论采用何种检验方式更好？参考数据：/20.69,/3110,加51.61,e2.72,27.39,320.09.【解析】解：（1）记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件，(2)(，*&)=左,三的取值为1k+计算尸=D=(i-p)k，?=k=1-(1-p)k,所以E(2)=(1-p)k+(左+1)(1-(1-p)%)=k+-k(-p

3、,由&)=()，k=k+1-k(1-p/f所以=1(3%左eN*且左.2)._k工,(范)=1(0)=左+1既一Z,所以左+1船70.24几人、7X0/、I14一X八设于OC)=Inx，于OC)=-，%0,4X44%当(0,4)时，f(x)0,/在(0,4)上单调递增；当x(4,+)时，f(x)0ff(9)=19=2加30,44所以上的最大值为8；所以左2,8时，混合检验方式好，9,+00）时，逐份检验方式好；例2.2023年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）.（1）为了解新冠肺炎的

4、相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得如表的频数分布表：年龄10,20(20,30(30,40(40,50(50,60(60,70(70,80(80,90(90,100人数26121822221242由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布N（4，15.22）,其中近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70）的患者比例；（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%,以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率

5、，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按（120且孔是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的几个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的H个人抽取的另一半血液逐一化验，记几个人中患者的人数为X“，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的孔的值.参考数据：若ZN（4。2）,则P（bz4+b）=0.6826,P-2Z/+2cr）=0.9544,P(-3Z/+3cr)=0.9973,0.940.66,0.950.59,0.910.35.r.73.1-1Q,八215+625+1

6、235+1845+2255+2265+1275+485+295o解析解：(1)=54.8IOO所以P(54.8-15.2VXV54.8+15.2)=P(39.6X70)=0.6826.P(Z70)=1-I。87%22所以该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上(70)的患者比例为15.87%.(2)由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为,n的可能取值为2,4,5,10.且X3(明对于某组几个人，化验次数Y的可能取值为1,+1.QQp(y=1)=(尸，=+i)=i(一厂1010所以E(T)=I(：)+(H+1)1-(=+1-H(,9o1o贝U20人的化验总次数为/()=n+1(一)=201+(一

7、)，n10n10经计算/(2)=13.8,f(4)11.8,f(5)12.2,/(IO)15.所以，当=4时符合题意，即按4人一组检测，可是化验总次数最少.例3.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于1份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验几次.二是混合检验，将其中左份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这左份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这左份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时左份血液检验的次数总共为k+1次.某定点医院现取得4份血液样本，考虑以

8、下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验.假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为尸=工.3(I)求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；(II)若检验次数的期望值越小，则方案越“优1方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由.【解析】解：(I)该混合样本阴性的概率是()2=|,根据对立事件原理，阳性的概率为1-四=1.99(II)方案一：逐个检验，检验次数为4,方案二：由(I)知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1,概率为9若阳性，则检测次数为3,概率为9设方案二的检验次数记为则J

9、的可能取值为2,4,6,方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为，的可能取值为1,5,Q石()石C)4,故选择方案三最“优例4.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(p1),某位患者在隔离之前,每天有位密切接触者，其中被感染的人数为X(0X),假设每位密切接触者不再接触其他患者.(1)求一天

10、内被感染人数为X的概率P(X)与、夕的关系式和X的数学期望;(2)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有Q位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第九天新增患者的数学期望记为石“52).(i)求数列氏的通项公式，并证明数列氏为等比数列；(ii)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p，=in(1+)-1，当p取最大值时，计算此时“所对应的纭，值和此时对应的纭值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取.=10)(结果保留整数，参考数据：1n51.6,1n31.11n2B0.7,10.3,

11、20.7)33【解析】(1)由题意，被感染人数服从二项分布：XB(a,p),则尸(X)=C：PX(I-p)-x,(0X),X的数学期望EX=即.(2)(/)第天被感染人数为(1+印),第九-1天被感染人数为(1+物)”2,由题目中均值的定义可知，E则=I+ap,且E2二初.e-i-,.纥是以印为首项，1+即为公比的等比数列.()令/(P)=In(I+p)-p，/(:.(2)的可能取值为123,4,5E的可能取值为2,3.尸(4)=尸(2)=尸(4)=尸(AJ=%尸(A)=g1I1C1C1/1厂110八人E7=1-+2-+3-+4-+5-=(次)，666633P(4=2)=P(纥)号P(=3)=

12、P(B3)=,12Q，窃=2义+3=耳(次)，故方案乙更佳.例6.某单位计划组织200名职工进行一种疾病的筛查,先到本单位医务室进行血检,血检呈阳性者再到医院进一步检测.已知随机一人血检呈阳性的概率为1%,且每个人血检是否呈阳性相互独立.(/)根据经验,采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下：将待检人员随机分成20组,每组10人,先将每组的血样混在一起化验,若结果呈阴性,则可断定本组血样全部为阴性,不必再化验；若结果呈阳性,则本组中至少有一人呈阳性,再逐个化验设进行化验的总次数为X,试求X的数学期望；()若该疾病的患病率为0.5%,且患该疾病者血检呈阳性的概率为99%,该单位有一职工血检呈阳性,求该职工确实患该疾病的概率.(参考数据：0.991=0.904,0.9911=0.895,0.9912=0.886.)【解析】解：(/)设每组化验的次数为久则取值为1,11.P(J=I)=0.991=0.904,P(=11)=1-0.991