专题25 极值点偏移之积(x1x2)型不等式的证明（原卷版).docx

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1、专题25极值点偏移之积(WM)型不等式的证明【例题选讲】例1已知x)=XhU:%z2-%，xR.(1)当相=2时，求函数x)的所有零点；(2)若“)有两个极值点X1，X2，且X1VX2，求证：X1X2e2(e为自然对数的底数).%0,解析(1)当相=一2时，7(x)=x1n+2-=(InJV0.设g(x)=1n%+-1,则g(x)=:+1O,于是g(x)在(0,+8)上为增函数.又g(1)=0,所以g(x)有唯一的零点X=1,从而函数兀0有唯一的零点X=1(2)欲证xiX2c2,只需证InXi+1nx2.由函数人)有两个极值点Xi,X2,可得函数/(x)有两个零点，又/(X)=In一如，fin

2、xim%=0,所以XI,X2是方程/(X)=O的两个不同实根.于是有ICCIrInX1+1n%2即根=FH1n%2-InXi即根:丁【UnX2一以2=0,+可得InXiIn%2m(%+x2),一可得In%2-1x=m(x2x),X2从而可得InX2-11X1X2XInX1+1n%2X1X2I+?In-VXiJ于是InXi+1nX2=一也1X1Xi由OVX1VX2,设/=也，则/1.因此Inx+1nx2=Qn/t1.为t1-1E1、十(%+1)1n%口-12(1I)要证InX1+1nx22,即证一二2(r1),即证当时，有In什.人21)G12+1)2(1I)(1ip令(O=1n则Mt)=7-W

3、=而百，所以z(。为(1,+oo)上的增函数.因此z(O1nI-2；+；)=。.于是当11时，有InA2；，.所以有InX1+In兄22成立，即X1X2e?.例2已知函数g(x)=1nx+bx.函数g(x)有两个不同的零点1,x2,求实数b的取值范围;(2)在(1)的条件下，求证：xxx2e2.解析(1)g(x)有两个不同的零点,A2，即1n+fex=0有两个不同的根，.=-皿一X设/(%)=-.,fx)=-,令/(%)。可得：1-1njv=jre.(x)在(O,e)单调递减，在(e,+)单调递增，且工+时，/(x)0,/(e)=-,OE山一，、片I,一加fInX+x=0/、(2)思路一：不妨

4、设入21，由已知可付：5,.1nx1x2=-b(x+x2.1n%2+x2=0即只需证明：万(X1+)2,在方程n+”!可得：b(x-)=In-.1nx2+bx2=01In三InZ:.b=二，.只需证明：工(m+2)2.X1-x2X1-X21n1+%n%即一工(占+%)242=1+2In三2连1.-.1IxJxU1)%令:垣，贝1卜1,所以只需证明不等式：(1+%)1n2(1)n(1+%)1n-2%+20,%设/z)=(1+)1n%-2/+2,A(I)=O,.)=1+1n-2=；+1n/1,(1)=0.z=：J=?。，.z在(1,+)单调递增.“=0.z在(1,+oo)单调递增，./.1)=0,

5、即不等式得证.-(x1+%)2即1nx1x22,/.xix2e/In122即证明：一?Ox2In-Inx2O2x1-(xf+e2)1nx2e2X1,因为g(x)=1nx+fcr有两不同零点七，%.2.,x2满足方程1n%+法=Ooz?=见土,由(1)可得：Ox1ex2.Jr考虑设/(x)=-叱，./&)=/(9)，由可得：/(x)在(O,e)单调递减，在(e,+单调递增.X2(2、0x1qx2,.x1(0,e),(O,e).结合了(%)的单调性可知:只需证明/(xj/.x2IX2Je2e2./(A1)=Z(X2),所以只需证明：/(X2)/(-)/(X2)-/(-)O.一%X2V单调递减，.(

6、x)(e)=O,.(x)单调递减，.(x)(e)=O.(x)单调递减，.z(x)Me)=O,即2；%2+e2)1nx20得证.e2.,.f(x1)oHX2。2.U2J一例3已知函数x)=InX-qx(qR).(1)求函数八工)的单调区间；(2)当Q=I时，方程兀O=相OV2)有两个相异实根即，X2,且X1VX2，求证：X1X20)当时，由x0,得1以0,即/(x)0,所以“)在(O,+oo)上单调递增.当0时，由/(x)0,得OVXV由/(x)V0,得x*,所以八工)在(0,/上单调递增，在弓，+J上单调递减.综上，当。柳时，坊)在(0,+上单调递增；当。0时，外)在(0,，单调递增，在色+)

7、上单调递减.(2)由题意及(1)可知，方程式工)=相(加一2)的两个相异实根Xi,工2满足Inx-%m=0,且OVX1VIVX2,即InXiXim=1nX2Xi-m=0.由题意，可知Ir1X1X1=根V22.令g(x)=1n-%m,贝1Jg(x)=x+31n-In2.人121G2)2+1)令Zz=%+於+31n%1n2(f2),则/=1K当2时，勿2且g(x)=g(X2),所以力(X2)=g(X2)gQ)=g(X1)g(W)V,即g(X1)g(1)因为g(x)在(0,1)上单调递增，所以X1V故xiG2”是解题的一个关键点，确定其范围之后才能2将X1与;I化归到函数的同一个单调区间上，这也是此

8、类问题的一个难点精确定位.例4已知函数/(x)=In%-QX+/?(，AR)有两个不同的零点玉，X2.求/(x)的最值；(2)证明：x1x20,进而得到函数的单调性，即可求出函数的最值.(2)由题意转化为证明h?.-上2+三,不妨设玉，令土二(0,1),只需证明X2X1X2%2X1X21n。，此时尸(x)0,解得x1./在，口上单增，f-,+81上单减，aVa)a)*/(x)ma=f(-)=Tn。-1+b,无最小值aIn五(2)由题知；1“玉./+,=0两式相减得In%)=。，即二,Inx2-ax2+p=0x2x1-x2故要证西犬2二，即证%送2_一)2,即证h12四二S=2+连，a口2jc1

9、x2xix2x2xI不妨设不/，令%=/(0,1),则只需证1i-2+1,设g=1口2彳1+2,x2tt11121nr-+-I(71)2则g)=21皿1+二二1,设恤)=21WT+,则Zz=J0,ttttt/?在(0,1)上单减，人Zz(I)=O,g在(0,1)上单增，gg(1)=O,即1口2%2+1在i(0,1)时恒成立，原不等式得证.t总结提升体会在用小%表示时为什么要用两个方程，而不是只用21n%-父-=O来表示？Y如果只用玉或进行表示，则InXI很难处理，用小务两个变量表示，在代入的时候有In二项，即可以七考虑利用换元法代替三，这也体现出双变量换元时在结构上要求“平衡”的特点.西【对点

10、训练】1 .已知函数1元)=X1nX的图象与直线y=相交于不同的两点A(X1，y),B(X2,m).求证：x%222 .已知函数/(%)=InX-Or.(1)讨论/(x)的单调性;(2)若函数于(X)有两个零点x1,%(再e2.3 .已知函数/(x)=x1nx+ax2-x+Q(QR)在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求1的取值范围.(2)设/(x)的两个极值点为芯，x2,证明X1X2，.In4 .已知函数五X)=M(QR),曲线y=(x)在点(1,犬1)处的切线与直线x+y+1=O垂直.(1)试比较20182i9与2O192018的大小，并说明理由;(2)若函数g(x)=/(X)左有两个不同的零点修，必证明：%2e2.b5 .已知函数x)=InX+1一(oR,8R)有最小值且M0.求ca1-b+1的最大值；_(2(2)当8+1取得最大值时，设厂S)=.一皿机R),网%)有两个零点为r,x2(%e3.6 .已知函数/(x)=(In%-1)x(R).(1)当%1时，求/(冗)的单调区间和极值；(2)若对任意xe,e4，都有/(x)41nx成立，求左的取值范围；(3)若X1%2,且/(兄1)=/(兄2)，证明X1X2C2k