专题30 极坐标与参数方程的应用（学生版）.docx

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1、方法技巧专题30极坐标与参数方程的应用一、极坐标与参数方程的应用知识框架二、极坐标与参数方程的应用题型分析【一】轨迹方程的问题一、极坐标方程1 .圆的极坐标方程若圆心为MP0，%)，半径为厂的圆方程为22oCoS(。一r2=0几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：=r.,当圆心位于M0),半径为p=2acos;JT(3)当圆心位于M(Q,5),半径为a：2=24sin0.2 .直线的极坐标方程若直线过点MSO,%)，且极轴到此直线的角为Q,则它的方程为：sin(。一Q)=OSin(%一Q).几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：和。=兀一%；1例题JT【例1】在

2、极坐标系中，已知圆的圆心C(6,),半径r=3,。点在圆。上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为元轴正半轴建立直角坐标系.(1)求圆C的参数方程；(2)若尸点在线段OQ上，且QH:卢。|=2:3,求动点尸轨迹的极坐标方程.X=2+2cosOC【例2】在平面直角坐标系XOy中，圆C的参数方程为一.(。为参数)，以点。为极点，y=2sma1轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆。的极坐标方程;(2)过极点。作直线与圆C交于点A,求Q4的中点所在曲线的极坐标方程.【例3】已知圆C经过点P(2,g)，圆心C为直线sin(8-g)=一5与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.2.巩固提升综合练习【练习1】(

3、2019年高考全国卷理数)在极坐标系中，O为极点，点加(夕。，4)(小。)在曲线C:夕=4Sine上，直线/过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.TT(1)当4=彳时，求夕O及/的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.【练习2】在极坐标系中，已知圆C经过点P(2j5,工)，圆心为直线必in(e马=小与极轴的交点，求43圆C的极坐标方程.【练习34(2019年高考全国I卷理数)如图，在极坐标系。工中，A(2,0),B(2,-)，C(2,-)，44D(2,),弧A3,BC，Co所在圆的圆心分别是(1。)，(1,-),(1,),曲线是弧43,曲线加2是弧5C，

4、曲线“3是弧C0.(1)分别写出M2,M3的极坐标方程；(2)曲线M由M2,构成，若点。在“上，且IoP1=6，求P的极坐标.【二】转化中的应用问题一、极坐标的转化问题互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度.互化公式为X=cosay=psin,p2=x2+y2,tan9=*0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将X=COS仇y=sin。代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为cos仇sin。的整体形式，然后用,y代替较为方便，常常两端同乘以2即可达到目的，但要注意变形的等价性.二、参数方程的消参问题1 .消参的常用方法(1

5、)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用M或%或1,y)表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的.(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin20+cos=1,sec=tan+1,+)2-)2=42 .消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量1,y的影响，否则易扩大变量的取值范围.(2)参数方程中变量1,y就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量1,y的取值范围.【例1】已知曲线G的参数方程为4+Seos，,。为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Q的极

6、坐标方程为=2sin夕(I)把Ci的参数方程化为极坐标方程；(H)求G与Q交点的极坐标S20,0W927i).【练习1】在平面直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为卜1为参数).在以原点。为极y=1+t点，X轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。的极坐标方程为夕=2COS8.(I)求直线/的极坐标方程和曲线。的直角坐标方程；(H)若直线/与曲线C交于尸，。两点，求Nn9Q.【三】最值、几何意义的综合问题1 .距离最值(点到点、曲线点到线、)距离的最值：一用“参数法”(1)曲线上的点到直线距离的最值问题(2)点与点的最值问题“参数法Z设点一套公式-三角辅助角设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线

7、的的参数方程来设套公式：利用点到线的距离公式辅助角：利用三角函数辅助角公式进行化一2 .面积的最值问题1.例题例1已知点P(X,y)是圆V+y22y=0上的动点.(1)求2x+y的取值范围；(2)若x+y+Q0恒成立，求实数Q的取值范围.1-【例2】已知在直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为121。为参数).在极坐标系(与y=-2+tI2直角坐标取相同的长度单位，且以原点。为极点，X轴的非负半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p一COSe即Sine=+2,a0,2.(I)求曲线C2直角坐标方程，并说明方程表示的曲线类型；(II)若曲线G、。2交于A、B两点，定点P(0,-2),求照印的最大值.C

8、1x3Ht2【例3】在直角坐标系Xoy中，直线/的参数方程为1(1为参数).以原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，。的极坐标方程为夕=26Sina(I)写出。的直角坐标方程；(II)尸为直线/上一动点，当尸到圆心。的距离最小时，求尸的直角坐标.【例4】在平面直角坐标系Xoy中，曲线C的参数方程为=C+2cos(。为参数)，以坐标原点。y=1+2si0为极点，龙轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线。的极坐标方程；TT(2)在曲线C上取两点M,N与原点。构成AMON,且满足NMON=,求AMON面积的最大2值.【例5】在直角坐标系X0y中，圆。的方程为(x+6)2+/=25.(I)以坐标

9、原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(Ii)直线/的参数方程是为参数)，/与。交于AB两点，ab=JQ,求/的y=tsina斜率.2.巩固提升综合练习丫2【练习1】在平面直角坐标系X0y中，设尸(羽丁)是椭圆可+丁=1上的一个动点，求s=x+y的最大值.【练习2】在直,角坐标系Xoy中，曲.线。的参数方程为尸3cos,2为参数)，直线/的参数y=sin6方程为尸=4%为参数).y=1-t(1)若=-1,求。与/的交点坐标；若C上的点到/距离的最大值为J万，求x8+1【练习3】在平面坐标系中Xoy中，已知直线/的参考方程为，t为参数)，曲线。的参y=一12x-2s2数方程

10、为1(S为参数).设P为曲线。上的动点，求点P到直线/的距离的最小值.y=2y2s【练习4】已知直线=(/为参数)，曲线q：卜=e+cos,(。为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立直角坐标系.(1)求曲线CI的极坐标方程，直线I的普通方程；(2)把直线/向左平移一个单位得到直线4,设4与曲线G的交点为，N,尸为曲线G上任意一点，求ZkPMN面积的最大值.【练习5】在平面直角坐标系XOy中，直线/的参数方程为4一(方为参数,Oov),以y=tsina。为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=4CoSe.(1)求直线/的普通方程和曲线。的直角坐标方程；211

11、(2)设A(10),直线/交曲线。于M,N两点，P是直线/上的点，且Ir=1r+1r,当IA尸I最v)APamIAM11大时，求点尸的坐标.三、课后自我检测1 .在直角坐标系XOy中，曲线G的参数方程为|8。$(】为参数)，以坐标原点为极点，以X轴的y=sina正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为夕sin(6+B=2.(I)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(11)设点尸在C上，点。在。2上，求IPQ1的最小值及此时P的直角坐标.2 .已知曲线G的参数方程是=2cs(0为参数)，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐y=3sin标系，曲线g的极坐标方程是夕=2.正方形

12、A5C。的顶点都在g上，且A、5、，。、。依逆时针次序TT排列，点A的极坐标为(2,耳).(1)求点4、B、。、。的直角坐标；(H)设尸为G上任意一点，求B4F+PB2+尸。+|尸。|2的取值范围.3 八X=+Zcos6,3.已知在直角坐标系XOy内，直线/的参数方程为V21 为参数，。为倾斜角）.以。为y-1-1sin.极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为夕=20cos(。+；).(1)写出曲线C的直角坐标方程及直线/经过的定点尸的坐标;(2)设直线/与曲线。相交于两点A5,求点尸到A5两点的距离之和的最大值.4.【2019年高考全国I卷理数】在直角坐标系Xoy中，曲线

13、C的参数方程为1-r2X彳，+产17。为参数).以4t坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2夕CoSe+gsine+=0.(1)求C和/的直角坐标方程;(2)求C上的点到/距离的最小值.5.在极坐标系中，已知点P(2g),圆C的方程为p=2cosa求过点P且与圆C相切的直线的极坐标方程。x-2+t（，为参数）.y=2-2t226 .已知曲线C：土+工=1,直线/：49(I)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程;(II)过曲线。上任一点尸作与/夹角为30。的直线，交/于点A,求IpA1的最大值与最小值.7 .已知抛物线C:y2=4x,点M(Xo)在工轴的正半轴

14、上，过M的直线/与C相交于AB两点，O为坐标原点若机=1时，/的斜率为1,求以A3为直径的圆的方程；(2)若存在直线/使得IAMI,IQMIMBI成等比数列，求实数m的取值范围.Xtcosa,8 .在直角坐标系0y中，曲线G：(，为参数，存0)其中0Wr,在以。为极点，X轴y=tsina,正半轴为极轴的极坐标系中，曲线g：/=2sin8,C3：p=23cos.(I)求g与g交点的直角坐标；(11)若。1与。2相交于点人，G与g相交于点B求IA5I的最大值.9 .在直角坐标系XOy中，以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕COSe=4.M为曲线G上的动点，点P在线段。河上，且满足IoMIO尸1=16,求点尸的轨迹g的直角坐标方程；TT(2)设点A的极坐标为(2,耳)，点5在曲线G上，求AQ钻面积的最大值.JT10 .在极坐标系中,O为极点，半径为2的圆C的圆心的极坐标为(2,丁.(1)求圆C的极坐标方程；(2)在以极点。为原点，以极轴为X轴正半轴建立的直角坐标系中，直线/的参数方程为1IX-Ih-t2“C3(t为参数),直线/与圆C相交于A,B两点，已知定点”(1,-2),求IMA1MB|OV2