[寒假]圆锥曲线中的最值和范围问题.docx

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1、圆锥曲线中的最值和范围问题需老在老什么【考题回放】2y21.已知双曲线r-J=1(GO力0)的右焦点为E若过点P且倾斜角为60。的直线与双曲Crhz线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(1,2)C.2,+)D.(2,+)22XV-2 .P是双曲线二一七7二1的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(-5)2+y2=1916上的点，则IPM-IPN1的最大值为()A.6B.7C.8D.93 .抛物线)，=-/上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()4 .已知双曲线r一t=1(，匕)的左、右焦点分别为尸|、点P在双曲线的右Crb支上，且I

2、Pa1=4PF2厕此双曲线的离心率e的最大值为：()45c7(A)-(B)-(C)2(D)-3335.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于AaI,y),8(x2M两点，则短+对的最小值是i2V26.设椭圆方程为AT+一=1,过点M(0,1)的直线/交椭圆于点A、B,。是坐标原点，4点尸满足。P=(OA+OB),点N的坐标为W),当/绕点M旋转时，求(1)动点P的222轨迹方程；(2)INP1的最小值与最大值.【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的

3、讨论常用以下方法解决：(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；(3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；(5)结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：通过参数简明地表示曲线上点的坐标；利用三角函数的有界性及其变形

4、公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；(6)构造一个二次方程，利用判别式A0臾政重睢点X2V2【范例1已知动点P与双曲线5一5-=1的两个焦点尸1、尸2的距离之和为定值，且CoSNBPF2的最小值为一.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若已知Q(0,3),“、N在动点P的轨迹上且丽=4而，求实数的取值范围.22S范例2给定点A(22),已知8是椭圆行+京=1上的动点,尸是右焦点，当IAM+忸F1取得最小值时,试求B点的坐标。【范例3已知P点在圆2+(2)2=1上移动，Q点在椭圆+y2=1上移动,试求IPQ1的最大值C【范例4】已知。尸。的面积为2,OFFQ=m(1)设m4,求NoFQ正切值的取值范

5、围；(2)设以O为中心、，尸为焦点的双曲线经过点Q(如图),0F=Gzn=(-1)c2当0。|取得最小值时,求此双曲线的方程。1,设A8是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为尸(%0),则4QAB的面积最大为()D.b2上一点，则照1+1PBI的最大值为()A.beB.abC.ac2.已知A(3,2)、B(-4,0),P是椭圆A.10B.C.D.3 .已知双曲线J-J=I,过其右焦点户的直线/交双曲线于A8,若IABI=5,则直线/有()169A.1条B.2条C.3条D.4条4 .已知点P是抛物线V=4上一点，设P到此抛物线的准线的距离为九到直线x+2y+10=。的距离为必则4+刈的最小值为()11

6、5,、11A.5B.4C.D5 5X2y25 .设户是椭圆丁+一=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P,(i=1,2,3,)，使76尸Pi1,尸PRI尸P3,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为6 .抛物线y2=2x上到直线-y+3=0距离最短的点的坐标为22XV7 .如图，已知A、8是椭圆工7+不=1的两个顶点，169C。是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCo面积的最大值是8 .如图3,抛物线V=4的一段与椭圆全+-=1的一段围成封闭图形，点N(1,0)在X轴上，又A、8两点分别在抛物线及椭圆上，且AB公轴，求ANAB的周长/的取值范围。.求实数2的取值范围，使抛物线)2

7、=X上存在两点关于直线y=m(x3)对称.已知A(-2,0),B(2,0),动点P与4、4两点连线的斜率分别为&网和团且满足Z闲布所7(厚0且r-1).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)当f0力乂)的右焦点为尸，若过点尸且倾斜角为60。的直线与双曲Crb1线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C)A.(1,2)B.(1,2)C.2,+oo)D.(2,+)2y22 .P是双曲线二一一=1的右支上一点，M、N分别是圆(4+5)2+j2=4和(x-5)2+y2=1916上的点，则IPMITPN1的最大值为(B)A.6B.7C.8D.93 .抛物线产-X2上的点到直线4x+3y-8

8、=0距离的最小值是(A)4 .已知双曲线鸟-1=1,(。0/0)的左、右焦点分别为R、尸2,点P在双曲线的右ab支上，且IPAI=4p尸2厕此双曲线的离心率e的最大值为：45c7(A)-(B)-(C)2(D)-3335 已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于AmI四两点，贝IJy1泊川的最小值是_32I6 .设椭圆方程为/+J=I,过点M(0,1)的直线/交椭圆于点A、B,O是坐标原点，点尸满足OP=g(OA+。月)，点N的坐标为(；),当/绕点M旋转时，求(1)动点P的轨迹方程；(2)INP1的最小值与最大值.【专家解答】(I)法1：直线/过点M(0.1)设其斜率为七贝I

9、的方程为产质+1.记A(XJ),8(X2j2),由题设可得点A、8的坐标(X|J)、(X2J2)是方程组的解.将代入并化简得(4+F)f+2履3=0,2k所以于是科蟀+即(岩,岩)=)一(4+公，4+公，将代入并整理得4f+）2.v=o（0,2）、（0,-2）,这时点P的坐标为并且y=22,y-1=y1-y2XX1-X2当即二X2时，点A、8的坐标为（0.0）也满足,所以点P的轨迹方程为Y+学“164(2)由点P的轨迹方程知J7,即一!3所以1644INP12=(X-4)2+(y-1)2=(X_4)21-4x2=-3(x+J)2+-1222461211故当X=T.INP1取得最小值，最小值为了

10、；44当X=-时，I标I取得最大值，最大值为夕.6O高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；(2)不等式(组)求解法：利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；(3)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应

11、用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；(5)结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：通过参数。简明地表示曲线上点的坐标；利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；(6)构造一个二次方程，利用判别式A0臾破重睢点【范例H已知动点P与双曲线5-弓-=1的两个焦点Q、尸2的距离之和为定值，且CoSNBPF2的最小值为一；.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若已知Q(0,3),M、N在动点P的轨迹上且丽=4而，求实数的取值范围.讲解(1)由题意c2=5.设IPHI+PB=2。(5)t由余弦定理，得C

12、osZ.FxPF2=2.2-10=PF1-PF2PFx2PI2-IF1F,122PP又IPz1尸6(IMI；P81)2=/,当且仅当IPBI=IP尸2时，PF1.PF2取最大值，此时CoSNRPF2取最小值；1-1,令22丁OT=aa9f2y2解得。2:9,。二百，二4,故所求P的轨迹方程为二十一二1.94(2)设N(SJ),M(x,y),则由Z)M=ADN,可得(x,y3)=(s,13),ix=s,y=3+(-3).M、N在动点尸的轨迹上，.1口(s)2JU+3-31)29494消去，可得3+3)TJ-2,解得，=%46213彳_51又V2.|:二区2,解得m45.645故实数的取值范围是，

13、,5.【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等.2V25【范例2给定点A(-2,2),已知B是椭圆+=1上的动点,F是右焦点，当AB-BF取得最小值时，试求8点的坐标。25I1解析：因为椭圆的e=g,所以恒回+忸FI=IAB1+工忸目，而TB目为动点8到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作/的垂线，垂点为N,过A作此准线的垂线，垂点为例，由椭圆定义IBNIe3于是IAB+BF=|ABI+1ANAM为定值C/T其中，当且仅当8点AM与椭圆的定点时等点成立，

14、此时B为(-一/,2)所以，当A8+g忸目取得最小值时，8点坐标为(-乎,2)【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。2【范例3已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆+y2=1上移动,试求IPQ1的最大值C解：故先让。点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心。I时IPQ1最大，因此要求IPQ1的最大值,只要求IOIQ的最大值.设Q(占y),则IaQF=X2+(y4)2因。在椭圆上,则f=9(1k)将代入得|。|。|2=9(1-)，2)+(),_4)2=-fy+1+27因为。在椭圆上移动，所以-1铲1,故当y=；时，QM=3G此时IPQ1=36+1【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的