[寒假]圆锥曲线中的取值范围最值问题.docx

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1、圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知6,分别是双曲线二-三=1(a0,b0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点,ab若NMPB=90,且片PB的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为6,双曲线与该椭圆离心率之积为半。(I)求椭圆的方程：(H)设直线/与椭圆交于A,B两点，坐标原点O到直线1的距离为正，求aAOB2面积的最大值.90.解：设IPGI二皿|入1=，不妨P在第一象限，则由已知得m-n=2a,5a2-Gac+c2=0,.,.e2-6e,+5=0,n+2c=2m.解得e=5或e=1(舍去)。设椭圆离心率为，,则5-=侦.=-.33s.0)焦点F坐标(0.

2、，卜MFI=*y.XIPFI啖f*,JMFI=IPFI.6分(2)由易知P(2,2)M(0,-2)点N的坐标为(0身或(OW)MM为三角形APN的外接便时,圈面积限小,设此IW的方程为:X/以%+f=o(0+Gtfo)当点用的坐标为(0由时,则4-*f=424-2F=O用Dn-5.=F=-I44+2D+2r*F0此时所求的忸的方程为/e-5x+y-10F=042当N的坐标为(。用时42E“0,D1,E_7此时所求的09的方4+42D42C4F=0程为/r-y-7=03分琮上册的方程为：+P当-I=O,/-2)-7=014分2y2174.已知椭圆G：+方=1(abO)的长轴长为4,离心率为耳,工

3、分别为其左右焦点.一动圆过点入，且与直线工=-1相切.(1)(i)求椭圆C1的方程；(ii)求动圆圆心轨迹C的方程；()在曲线C上有四个不同的点M,MRQ,满足丽与丽共线，丽与无共线，且丽丽=0,求四边形PMQN面积的最小值.(ii)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，旦抛物线C的焦点为(1,0),准线方程为X=-1,则动圆圆心轨迹方程为C：V=4x.(II)由题设知直线MN,PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为Z(ZH0),M(x1,y1),7V(x2,j2),则直线MN的方程为:y=Z(7)联立C:y2=4x消去y可得上2%2一(22+4)工+%2=o由抛物线定义可知：2iP+44IMN

4、|=|MF2+I=x1+1+x2+1=,+2=4+kk同理可得IPQI=4+422又Si=；IMN1iPQ|=；(4+方(4+4公)=8(2+Y+)32乙乙KK(当且仅当&=1时取到等号)所以四边形PMQN面积的最小值为32.69加图，已知直线/：)，=履一2与抛物线C：丁=_2外(0)交于4,B两点,。为坐标原点，OA+08=(-4,12)。(I)求直线，和抛物线。的方程；()抛物线上一动点尸从A到B运动时，求AABP面积最大值.y=AJV-269解:(I)由,得,2+2Ph-4p=0,X=-2Py设A(XIJ)，8(孙必)，则5+a=-2pk,yx+y2=(x1+x2)-4=-2pZ:2-

5、4,因为OA+OB=(%+%2,y+必)=(一20左,一2&2-4)=(T,-12),P=1k=2.-2pk=-4,所以、解得-2Pk-4=12.所以直线/的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为X2=-2y.(II)方法1：设P(XO，%)，依题意，抛物线过P的切线与/平行时，AAPB面积最大,y=x,所以/=2=x0=2,y0=x2=2,所以尸(2,2).此时P到直线I的距离d=|2，(；2)-(-2)-2|=4=撞，22+(-D255y=2x-2,得，x2+4x-4=0,U2=-2y,IAB=1+2(x,+x2)2-4x,x2=1+22M)2-4()=410410ABP的面积最大值为5-=

6、822y=2x-2,.(II)方法2：由.得，x24x-4=0,-=-2y,IAB=+Jt25(x1+x2)2-4x1x2=J1+2?J(T)2-4(T)=4109分设P,-!),(-2-22)2因为AB为定值，当P到直线/的距离d最大时，AABP的面积最大，,T一2国+2)2T百+(一1)2因为-2-20b0)的长轴为短轴的百倍,直线y=A与椭圆交于A、B两点,ab-*3C为椭圆的右项点，OAoC=2(I)求椭圆的方程；(II)若椭圆上两点E、F使近+而=4苏M(0,2),求OE/面积的最大值2266.解：(I)根据题意，=3,C(,0),设AQj),则f0,=十二=1Crb解得”=用?,即

7、争ACAA.FiAC1Q.OA=(/?,),OC=(,0),OAOC=-ab=3?2=22222s.b=ya=3,2椭圆方程为争V(II)设E(X1,y1),F(x2,y2),所中点为M(XO,%)，.OE+OF=40A由-得“:2+y12一货=0,弘一力_11+2_1-/X,-X23y.+y23.,.直线EF的方程为y-(x-),即X=3y+J54代入F=14343Zo2_1并整理得，4y2-23y+22-1=0,yx+y2=1,yxy2=-1EFI=y(1-2)2+(y1-y2)2=i1-2二布亘三三二瓦更三,22原点0(0,0)到直线F横距离为=半,：.SAOEF=-EFh=包中人102

8、4乎向中朱立产邛,当2=行时等号成立所以AOE尸面积的最大值为4-63.已知椭圆C:/+;=1,过点M(0,1)的直线/与椭圆。相交于两点A、B.4(I)若，与.V轴相交于点P,且尸为AM的中点，求直线/的方程；(H)设点N(0一)，求N4+NB的最大值.263.(I)解：设A(X1,y),因为P为AM的中点，且P的纵坐标为O,M的纵坐标为1,所以=0,解得y=-1,又因为点AS,w)在椭圆。上，所以x；+f=1,即k+!=,解得斗=士*，则点A的坐标为(等,-1)或(-亭,-1),所以直线/的方程为4后-3)，+3=0,或4x+3y-3=0.11(II)设A(X1,y),(x2,闻，则NA=

9、(x1,y1-),NB=(x2,y2-),所以M4+N8=+x2,y+%1)，则64+N3=J+X2)2+(y+%T)2当直线48的斜率不存在时，其方程为X=0,A(0,2),3(0,2),此时INA+NB=1;当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=+1,y=kx+由题设可得A、B的坐标是方程组1,v2x2+-=1的解，消去)，得(4+22)/+2H3=0所以A=（2Q2+12（4+）O,xi+x2=-8则，1+。2=（3+1）+（如+I=42，H,IAC所以Im4+F=（-7）2+（_1）2=+11、4+-4+F（4+公）2当Z=O时，等号成立，即此时IM1+NB取得最大值1.综上，当直线A

10、B的方程为X=O或y=1时，IMi+有最大值150.已知点A是抛物线y2=2px(p0)上一点，F为抛物线的焦点，准线1与X轴交于点K,已知IAK1=2IAF1,三角形AFK的面积等于8(1)求P的值；(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线,与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G,H.求IGH1的最小值.50.解：(I)设A(0,%),因为抛物线的焦点/(,)准线加勺方程为：x=则IAMI=X0+畀|网又IAK1=A目得IAKI=AM,即AK1为等腰直角三角形，.KM卜4fI=x0-)o=即A(Xo,-1j而点A在抛物线上，又Swk=;IK斗M=；p-p=8,/.p=4.故所求抛物线的

11、方程为y=8.6分(2)由=8x,得尸(2,0),显然直线/1,4的斜率都存在且都不为O设/,的方程为y=k(x-2),则A的方程为y=-(x-2).48.椭圆的中心为原点0,焦点在y轴上,离心率e=。，过P(0,1)的直线/与椭圆交于A、B两点,且AP=2依，求AQ3面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.2248.解：设椭圆的方程为4+0=1(。80),直线/的方程为y=kx+fabAa,弘)、B(x2,y2)VV622,0e=/.c=-a,b3312-a32+5=1即32+y2=382,2则椭圆方程可化为J3bH22所以AAQB面积的最大值为丝，取得最大值时椭圆的方程为十巨25Sr2+V2=3h2,得(3+22)2+2%+i-3=0(*)y=kx+1有项+/=一一R,而由己知AP=2PB有M=-2W，代入得马=上彳3+Z3+Zfirr.,1IeD11,33k3kV3所以SMOB=OPX1-X9=X