[寒假]圆锥曲线定比弦的存在定理.docx

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1、圆锥曲线定比弦的存在定理湖北随州二中操厚亮摘要本文研究了圆锥曲线中过定点并以此点为定比分点的弦的存在问题,给出了圆锥曲线中定比弦存在的较为一般的判定定理。关键词圆锥曲线定点中点弦定比弦TheExistenceTheroemofFixedproportionNypothenuseinConica1CuryeCaoHou1iang(C1ass9702,DepartmentofMathematics,HubeiNorma1University)AbstractInthispaper,wecarryoutaresearchintotheexistenceprob1emofacertainhypothe

2、nusewhichpassesthroughafixedpointandhasitasafixed-proportionpoint,inconica1curvegiveoutsevera1commontheoremstojudgetheexistenceoffixed-proportionhupothenuseinconica1curve.KeyWordxonica1curve;fixedpoint;center-pointhypothenuse;fixed-proportionhypothenuse首先给出如下定义：定义设P点为定点，T为圆锥曲线，AB是它的弦，若AB所在直线过P点，且被PA

3、p点所分成的有向线段代数长之比二一二4(定值)，则AB便叫做T的定比弦。当;1=1时，PB定比弦即是中点弦。本文研究定比弦的存在定理，对此，我们有22定理一椭圆二+二二1存在以P(x0y0)(o2+yo2O)为分点，/1为定比的定比ab弦的充要条件是：(1)当40时,(-)2a2b2b2xo2+a2yo2a2b2；1+(2)当4=0时,b2xo2+a2yo2=a2b2(I)1_J(3)当/VO时(2-1),a2b22x2dr5,2)2,bXQ+cb(1A)y2a2y022a2y0代入Z+/为2=/,并化简得到：4Z?202xo2+02y02)x2-4b2x0(+)(b2x+2y02)+a2(1

4、-2)x+22(1-22)02xo2+f12y02)+(1+)(b1x+a2y)-dxh2y+4Z?4(1-2)2=O(=)假设弦AB存在，则xR,所以上述方程有实根，从而()，对其化简整理，得：+2)2(Z72x02+a2)2-2a2Q+2)(fe2x02+)+4(1-2)0解此不等式，即得：(1)当40时，(-)2a2b2b2xo2+a2yo2a2b2；1+(2)当4=0时,b2xo2a2yo2=a2b2(3)当一Vo时(-1),a2b20时，2a2xo2a21+4(2)当4=0时，x02=a2(3)当4Vo时，a2x02()2a21+4这个结论就是(I)式中取凡=0的情形，故不管凡是否零

5、，(I)式总成立。(0)存在以(xo,yo)为分点，以/1为定比的定比弦的充要条件是：(1)20(W-I)时，(y02-2px0)设弦AB存在,则xR,.方程有实根，()，对此化简即得:(1) 0(-1)(yo2-2pxo)O,当X=O时，Xo=O.这个结论就是(II)式中取y0=0时的情形，故不管y是否为零，(H)式总成立。反过来，若(II)式成立，由于以上推导过程可逆，因而以P(xo,yo)为分点，则以Z为定比的定比弦必存在.定理三双曲线比-/yZ=/存在以P(XOyO)(XO2+y020)为分点，以义为定比的定比弦的充要条件是：1_J(1)当40时，b2xo2-a2yo2(1)或b22.

6、a2yo2a2b21+2(2)当4=0时，b2xo2-a2yo2=a2b2(III)(3)当4VO时,b2xo2-a2yo2(-乙)？或Va2b?.12证明与前面类似.证明了定比弦的存在定理，中点弦的存在定理也就证明了，其相应定理只需将上述定理中几改为1即可，于是我们有下述推论：推论一椭圆b2()2+a2y()2=a?b2存在以P(x0,yo)(o2+yo20)为中点的中点弦的充要条件是：b2xo2+a2yo2a2.(IV)推论二抛物线y2=2px存在以P(xo,yo)为中点的中点弦的充要条件是：yo2a2b2,或b2xo2-a2yo20(VI)推论四圆2+y2=R2存在以P(0,y0)(x0

7、2+yo20)为中点的中点弦的充要条件是：xo2+yo22存在以P(xoyo)为分点，4为定比的定比弦的充要条件是b20a2y02()2a2b2,将a2=9,b2=4,2=-21+z代入得36yo)在何区域内，双曲线2-4y2=4不存在以P(xoyo)为分点，以-2为定比的定比弦？解：由定理三知，当4VO(/IW-I)时，双曲线Z一=2匕2存在以p(%,打)为分点，/1为定比的定比弦的充要条件是b22.a2yo2e(二)？或b22一a2y02a2b2,将a2=4,b2=1,=-2代入得xo2-4yo236或xo2-4yo24,从P点所在区域就是xo2-4yo236且x024yo224,即双曲线

8、2-4y2=36与24y2=4,所夹的区域(含双曲线24y2=4)例3过点P(1,2)作椭圆2+4y2=4的弦AB,若P点分AB所成的线段比为2,求;I的最大、最小值。解：P(1,2)为椭圆2+4y2=4外的一点，,P为外分点，从而40,于是由定理一，知该椭圆存在以P(1,2)为分点，/1为定比的定比弦的充要条件是4(二)2217,i+解此不等式，得：-214717一1=(x-1)Oy化简整理，即得2一y2-2+y=00因为由推论3知，双曲线/尢2一/俨=/存在以P(o,yo)(xo2+yo2O)为中点的中点弦的充要条件是：b2xo2+a2yo2或b2x02+a2y02a2b2所以所求P点的轨迹方程是2x2-y2-2x+y=022X2-222