[寒假]圆锥曲线之轨迹方程的求法.docx

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1、圆锥曲线之轨迹方程的求法(一)【复习目标】 1.了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； 2.会用直接法、定义法、相关点法(坐标代换法)求方程。【基础练习】1 .到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是()A.yxB.=|XIC.y2=x2D.x2+y2=O2 .已知点P(x,y)的坐标满足JaT)2+(y-1)2=J(X+3)?+(y+3)?4,则动点P的轨迹是()A.椭圆B,双曲线C.两条射线D.以上都不对3 .设定点K(O,3)、K(0,3),动点尸满足条件尸耳+P鸟=+(。0),则点P的轨迹()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段4 .动点P与定点A(T,0)、8(1,0

2、)的连线的斜率之积为-1,则2点的轨迹方程为【例题精选】一、直接法求曲线方程根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。例1已知A8C中，BC=2,试求A点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.练习：已知两点M(-1,0)N(1,0),且点P使MPMN,PMPN,NMNP成公差小于零的等差数列。点P的轨迹是什么曲线？二定义法若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。例1.(DC：(x+0)2+y2=i6内部一点4(J,

3、0)与圆周上动点。连线AQ的中垂线交CQ于P,求点P的轨迹方程.例2.设动点P(a)(xNO)到定点吗,0)的距离比它到y轴的距离大，记点P的轨迹为曲线C求点P的轨迹方程；练习.若动圆与圆G：(x+2)2+V=1相外切，且与直线X=I相切，则动圆圆心轨迹方程是.三代入法有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。例1、己知定点A(3,0),P是

4、圆/+),2=1上的动点，NAoP的平分线交AP于M,求M点的轨迹。例2、如图所示，已知P(4,0)是圆f+y2=36内的一点,A、8是圆上两动点，且满足NAP8=90。,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.y.针对练习一、客观题1 .平面内到点A(0,1)、8(1,0)距离之和为的点的轨迹为()A.椭圆B.一条射线C.两条射线D.一条线段2 .平面上动点P到定点/(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,则动点P的轨迹方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.V=2x或D.丁=人或(x0(x03 .已知抛物线的方程为V=2px(p0),且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2,若点M在此抛物线上运动，

5、点N与点M关于点A(1,1)对称，则点N的轨迹方程为()A.X2=SyB.(x-2)2=8(y-2)C.(y-2)2=-8(x-2)D.(y-2)2=8(x-2)4 .动点P在抛物线y=2+1上移动，则点P与点A(0,-1)连线中点M轨迹方程是5 .一动点P到点尸(2,0)的距离比它到)，轴的距离大2,则点P的轨迹方程是.二、解答题6 .动圆M过定点P(4,0),且与圆C：f+y2-8x=0相切，求动圆圆心M的轨迹方程。7 .已知抛物线y2=+,定点A(3,1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP：PA=I：2,当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程.8 .已知数列的前n项和为

6、Sn,点(&)在直线y=1+U上，数列也满足n22bn2-2+=0(N*),b3=1b且bn的前9项和为153.求数列aj和bn的通项公式；(2-1i2-1),记数列W的前n项和为T“，求使不等式7；一对一切nN*都成立的最大正整数k的值.19.(本题满分14分)已知点C(10),点A、B是。0:xy2=9上任意两个不同的点，且满足后而号=0,设P为弦AB的中点。(D求点P的轨迹T的方程；(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由.20、(本题满分14分)过点4(0M)作直线交圆M：(x-2)2+y2=1于

7、点儿C,在BC上取一点P,使P点满足：B=ACJP=PCR)(1)求点P的轨迹方程；(2)若(1)的轨迹交圆M于点R、S,求AMRS面积的最大值。一、知识概要：1 .定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。2 .直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程了。二、基本训练：1、已知AABC的一边Be的长为6,周长为16,则顶点A的轨迹是什么？答:.2、若A(-5,0),B(5,O)11IM41-1MB

8、I=8,则点M的轨迹方程是.(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)三、例题:例1、两根杆分别绕着定点A和B(AB=2a)在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直,求两杆交点的轨迹方程.例3、过点M(-2,0),作直线/交双曲线V一y2=于A、B不同两点，已知OP=OA+OB。(IX求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。(2)、是否存在这样的直线，使IOPI=IA3|?若存在，求出，的方程；若不存在，说明理由。解:(1)、设直线/的方程为y=左*+2),代入/一y2=1得(1一公)/一4攵2工一必2-1=(),4/b_1_1当Z1时，设A(X,y),B(x2,y2)9则百+/=；,xix2=一-KK

9、-I,zc、，,八、k4k?,4kX+必=&(%+2)+&(/+2)=I-K1-K设尸(x,y),由OP=OA+08,贝IJ4-4k(X,y)=(1+2,j,+y2)=(,-)1/CK4公X-1一&,解之得H=A(%0)4kyrA1再将t=A代入y=乎得(x+2)2-V=4(1)y-k当火=O时，满足(1)式；当斜率不存在是，易知P(-4,0)满足(1)式，故所求轨迹方程为(x+2)2-y?=4,其轨迹为双曲线；当攵=1时，/与双曲线只有一个交点，不满足题意。(2)IOPHAB,所以平行四边形OAPB为矩形，OAPB为矩形的充要条件是OAOB=O,即x1x2+y1y2=O.当k不存在时，A、B

10、坐标分别为(-2,6)，(-2,-3),不满足上式。化简得：T=*此方程无实数解，故不存直线/使OAPB为矩形。k1点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。课外作业：1 .已知椭圆的焦点是用、F2,P是椭圆上的一个动点，如果延长入P到。，使得IPQI=IPPR,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线2 .如图,已知圆B:(x+1)2+yT6及点A(1,O),C为圆B上任意一点，则线段AC的垂直平分I与

11、线段CB的交点P的轨迹方程是.3,已知人43。4(3,0)1(3,0),且三边长庆(：|、IABhIBC1依次成等差数列，则顶点C的轨迹方程是.6*.4ABC中，A为动点，5、C为定点，B(,0),C(-,0),且满足条件Si1ICsinB=ISinA222则动点A的轨迹方程为.8 .（06全国I）在平面直角坐标系xoy中，有一个以6（0,-G）和鸟（0,石）为焦点、离心率为中的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A、B,且向量OM=OA+08。求点M的轨迹方程.9 .如图，过A（1,0）,斜率为A的直线/与抛物线C：V=4x交于P、Q两点

12、，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。一、知识概要：代入法(相关点法)有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。二、基本训练：O1、双曲线7-V=I有动点p,F1,F2是曲线的两个焦点，求APFiFz的重心M的轨迹方程。例2、已知定点A(3,0),P是圆/+y2=上的动点，NAo尸的平分线交AP于求M点

13、的轨迹。解:如图，设M(X,y)、P(x,j)由于OM平分NAoP,故M分A尸的比为：,IAM1IoA1W=3IMP1IoP1由定比分点公式，得x=F/,y=1,131+34z3、x=-(x一一)1344故一?)+(gyp=1,即()2+y2=V33故所求轨迹是以(，,0)为圆心，以二为半径的圆。44例3、如图所示,已知P(4,0)是圆.d+y2=36内的一点,A、8是圆上两动点,且满足NAPB=90。,求矩形APBQ的顶点。的轨迹方程.错解分析：欲求。的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题。技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个

14、较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点,所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。解：设AB的中点为R,坐标为(BJ),则在RtA1ABP中，IAKI=IPKI1又因为R是弦AB的中点，依垂径定理X在Rt0A?中，IARF=IAoF-IoRI2=36(2+j2)又IAR1=I尸R1=(x-4)2+y2所以有(X+y2=36(x2+V),即+y24-Io=O因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，。点即在所求的轨迹上运动.设0(XM，&X1J1)，因为K是PO的中点,所以X1=土9,必=与9,代入方程x2+V-4-o=o,得2(f)2-4-10=0整理得83+),2=56,这就是所求的轨迹

15、方程。课外作业：r21.(01上海)设尸为双曲线丁-V=I上一动点，O为坐标原点，M为线段。尸的中点，4则点M的轨迹方程是2,若动点P在y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,1)连线中点的轨迹方程是。3.尸在以尸卜B为焦点的双曲线-4=1上运动，则尸1尸2尸的重心G的轨迹方程169是O一、知识概要：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。二、基本训练：1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=aOA+OB,其中a,eR,且a+=,则点C的轨迹方程