[寒假]圆锥曲线的光学性质.docx

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1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探源于课本一份阅读材料的探究反思内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏指导教师：张红学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质1.1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图11）椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置.例如在片处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于E处，对E处

2、的物体加热.1.2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；（见图12）.双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用.1.3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图13）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向.卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到

3、的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果.最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的.要探究圆锥曲线的光学性质，首%既须将这样一个光厚期问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及证明2.1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线/与曲线C交于PJ。两点，当直线/连续变动时，尸J。两点沿着曲线渐渐靠近，一直到C重合为一点M,此时直线/称为曲线C在点处的切

4、线，过M与直线/垂直的直线称为曲线C在点”处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化:2.2圆锥曲线光学性质的证明22Xy-预备定理1若点Pa(Pyo)是椭圆7+%=1上任一点，则椭圆过该点的切、x0xyay1线方程为：方+器=11X272Z1-、证明：由Er=I一/n=b（I-）I。当xa时，过点P的切线斜率一定存在，且Z=V1C，26对式求导：2=萼.切线方程为一为=一警1（X一/）oaYox2y2点P（X0，%）在椭圆/+乒=1上，X2v2XoXy0y1故齐条=1代入得丁+丁=1而当x=时，yo=o切线方程为x=,也满足式故黄+茅=1是椭圆过点P（X。，y。）的

5、切线方程.22预备定理2.若点P（,%）是双曲线/-6=1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：”一丁=1v2/2证明：由万=T=y2=（T）1。当x士4时，过点P的切线斜率k一定存在，且Z=V1=A0对式求导：2=%/%=V1F）=21aC1Zoh2x（.、切线方程为y-%=_Ua-Xo）ay（）_/丁_1.点P（XO,%）在双曲线/一屏一1上，故不/I代入2传/b2而当=。时，X）=O切线方程为X=,也满足式X0XV0y1故,一学二是双曲线过点P（,为）的切线方程.预备定理3.若点（%，%）是抛物线V=2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是为y=p（+）证明：由V=2px,对无求导得：

6、2yy,=2pnk=VI=%当为o时，切线方程为,-y=-U-）即=*一/而尤=2Xonyoy=P（X+%）而当为=O,%=O时，切线方程为XO=（）也满足1）式故抛物线在该点的切线方程是y=P（X+玉）.定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）已知：如图，椭圆C的方程为1+1=1，耳居分别是其左、右焦点，/是过ab“椭圆上一点P（,y0）的切线，为垂直于/且过点P的椭圆的法线，交X轴于。设F2PD=a,3PD=,求证：a=,证法一：在cj+与=1上，队a2b-%、P（X,y0）C,则过点尸的切线方程为：等+爷=IZZ心，是通过点尸且与切线/蠢的法线，图2.

7、1则堂口-(，)=/%(/5) 法线r与X轴交于D(-)2xo,O)aCIc2F1D=-xq+c9F,D=c一一7aa FiDa2+cx0IF2Da2-CX0又由焦半径公式得：IPF1=a+ex0,PF2=a-ex0 WoIJP耳I,F2DPF2，P。是/耳尸鸟的平分线：a=.a+a=90。二4+尸，故可得=7=4证法二：由证法得切线/的斜率左=孕，而PK的斜率吊PF2aXj+c的斜率右X-C/到PK所成的角片满足4户/，_kk_Xo+c_a2y1+b2xb2cx01+原|4%(-y)/%+-%(x0+c)a2y0 P(AO,y0)在椭圆cV=1上._ tanex.0同理，PK至心所成的角满足

8、tan4=勺区=三1+收200 tana=tan而(0,g.a=B证法三：如图，作点F3,使点工与巴关于切线/对称，连结小尸3交椭圆C于点P下面只需证明点P与P重合即可一方面，点P是切线/与椭圆C的唯一交点，则PK+PI=2%是/上的点到两焦点距离之和的最小值(这是因为/上的其它点均在椭圆外)另一方面，在直线/上任取另一点P”I/用+1PEI=IP+PEHK鸟IVPW1+1p”K1即尸也是直线A8上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而尸与尸重合即=/?而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分(图2.2)；已知：如图，双曲线C的方程为-占=1,F11鸟分别是其左、

9、右焦点，/是ab过双曲线。上的一点P(XO,%)的切线，交工轴于点，设4PD=,F2PD=求证：a=Jy证明=7*C两焦点为写(-G0),F2(c,0)(c2=a2+b2)一P(%,y0)在双曲线上)则过点P的切线等-矍=1图2.2ab切线/与X轴交于。(,0)。由双曲线的焦半径公式得PF1=-xQ+a,PF3=-xQ-aaa双曲线的两焦点坐标为He,0),Fz(-c,O)IPKJ1e)aDfJH-x0+,D=-H-0,Wa=POa=0,切线/为次之角分线。定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。已知：如图，抛物线。的方程为为V=4cx

10、,直线/是过抛物线上一点P（如y0）的切线，交X轴于。，NDPF=aPDF=y,反射线产。与/所成角记为，求证：a=证明：如图，抛物线C的方程为UV=4”，点P（X。,%）在该抛物线上，则过点尸的切线为%y=p（+o）切线/与X轴交于。（-/,。）焦点为RC,0）,=r（同位角）|PFI=y（xo-c）2+yo=|/+c,DF=x0+cPF=DF图2.3.*a-a-通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用3.1解决入射与反射问题例1设抛物线Uy?=,一光线从点A（5,2）射出，平行C的对称轴，射在C上

11、的P点，经过反射后，又射到。上的Q点，则P点的坐标为Q点的坐标为解：如图，直线4P平行于对称轴且A(5,2),则P点的坐标为(4,2)图3.1.例2.已知椭圆方程为1+I25Io/1(3,0)射出，经二次反射回到1点，设二次反射点为BiCt如图3.1.2所示，则4/6C的周长1,若有光束自焦点解：椭圆方程为+=1中，C2=25-16=925Io(3,0)为该椭圆的一个焦点自4(3,0)射出的光线48反射后，反射光线AC定过另一个焦点A(-3,0)BC的周长为AB+4*4C+C4=4=4x5=20例3.双曲线C:-E=I,又AC,已知/(4,OO22),4,0),若由夕射至4的光线被双曲线C反射

12、，反射光通过A8,A),则k=Oy图3.1.3解：入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点F(-4,O)=r=321283.2 解决一类“距离之和”的最值问题例4.已知椭圆C：+卷=1,用、F?为分别是其左右焦点，点Q(2,1),P张奠宙教授说“在一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。”我读了他的文章，深受启发

13、，并用圆锥曲线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。(-)分析猜想：（I）经计算,Q（2,2）点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此IMFJ+MQ应该有一个封闭的取值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1,光线从RPQ）,二是被下半椭圆反射（如图3.2.2,光线从FP2F2Q）,究竟哪种情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2.1中的PE1+PQ2a,可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。但是，最大值

14、又是多少呢？图3.2.2所示的光线又有什么特点呢？将图3.2.1,和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3,由于IPzQIP2F1+P1Q+PE1是定值4a（a为椭圆长半轴长）,而PQ+PE由前面知最小，由此猜测IP2Q+P2FJ可能就是最大值。（二）证明IPE+IP是最小值。如图3.2.2,连接QF2,延长交椭圆于P2,在椭圆上另取一点鸟，由椭圆定义知：RQ卜IQFzI+PFJ=1+z2（*）,因为Q-QF2,代入（*）式得P2QHQF2+P2F）n阳Fj+1翠QHQF2所以，EQ1+P2FNI之Fj+KQ猜想得证。（三）计算：综上所述，只需求出IgQI=J（4-2）2+42=2回可得最小值为勿-1I=10-210最大值为2a+6Q=10+2i例5.已知双曲线C：x2-