[寒假]圆锥曲线常用解法、常规题型与性质.docx

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1、圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质(有相应例题详解)总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法(点参数、K参数、角参数)7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型(1)中点弦问题(2)焦点三角形问题(3)直线与圆锥曲线位置关系问题(4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决C2 .曲线的形状未知一-求轨迹方程(6)存在两点关于直线对称问题(7)两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法(1)椭圆有两种定义。第一定义中，r+r2=2ac第二定义中，n=edr2=

2、ed2o(2)双曲线有两种定义。第一定义中，作一寸=2。，当W2时，注意2的最小值为c-a:第二定义中，r产ed,n=ed2,尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不

3、解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(X,y),B(x2,y2),弦AB中点为M(xo,yo),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的设而不求法，具体有：22(1) -r+Wr=1(4hO)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),则有crb-+(其中K是直线AB的斜率)Crb22(2)三一当=1(。0/0)与直线1相交于人、B1设弦AB中点为M(xo,yo)则有ab之一磐=0(其中K是直线AB的斜率)(Ir(3)y2=2

4、px(pO)与直线1相交于A、B设弦AB中点为M(XO,yo)厕有2yk=2p,即yok=p.(其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为,则J1+22.%,若直接用结论，能减少配方、开Ia1方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。如u2x+y令2x+

5、y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如父旷”，令x2+y2=J1则d表示点P(x,y)到原点的距离；又如“上芸，令上芸*贝IJkx+2x+2表示点P(X、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率6、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如X轴上一动点P,常设P(30)；直线-2y+1=0上一动点P。除设P(X1y1)外，也可直接设P(2y1-1,y1)(2)斜率为参数当直线过某一定点P(xo,y。)时，常设此直线为y-yo=k(x-x。)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时，常

6、设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P,P?求(或求证)目标Q”，方法1是将条件巴代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件巴，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P,P%这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、抛物线CY=4x上一点P到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为O分析：A在抛

7、物线外，如图，连PF,则IPH1=IP月，因而易发现,当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作QR_11交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：(2,2)连PF,当A、P、F三点共线时，HH+?用=IAH+归月最小，此时AF的方程为y=4.O(X-I)即y=2(x-1),代入y2=4得P(2,2i),(注：另一交点为(：,一VI),312它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)(；1)4过Q作QRjJ交于R,当B、Q、R三点共线时，忸q+QF=忸q+QA最小，此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得X=；.Q(1,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线

8、距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例2、F是椭圆:-+-=1的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆43上一动点。(1)|曰+归月的最小值为(2)P.+2P月的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。解：4-5设另一焦点为尸,则另(1,0)连AF,p尸P+PF=P+2a-PF,=2a-(PF,-P)2a-AF,=4-y5当P是FA的延长线与椭圆的交点时，|川+1尸耳取得最小值为4-石。(2)作出右准线1,作PHJJ交于H,因a?=4,b2=3,c2=1,a=2fc=1,e=-,2.|尸石=gpH,即2PFI=IPM.A4+2Pf=4+P7解

9、：如图，IMq=IMq,.IAq-M=IMqTo邸P6-M4=M-2M4+MB=8(*)点M的轨迹为椭圆，2a=8,a=4,c=1,b?=15轨迹方程为；7+J7=11615点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出J（X+1+y2+J（-1）2+y2=4,再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例4、ABC中，B（-5,0）,C（5,0）,且SinC-SinB=SSinA,求点A的轨迹方程。分析：由于SinA、sinBxSinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。33解:sinC-sinB=-s

10、inA2RsinC-2RsinB=-2RsinA.WNTAq=IBq即IABITAq=6（*）点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）v2a=6,2c=10a=3,c=5tb=4所求轨迹方程为4-T=1(x3)916点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=2上移动，AB中点为M,求点M到X轴的最短距离。分析：(1)可直接利用抛物线设点，如设A(x,x2),B(x2,X22),又设AB中点为M(XOyO)用弦长公式及中点公式得出yo关于Xo的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。(2)M到X轴的距离是一种“点线距离”，可先

11、考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设A(X1,Xi2),B(X2,X22),AB中点M(Xo,yo)f(x1-X2)2+(X12-Xj)2=9则,X1+=2/卜：+E=2%由得(X1-X2亢1+(X1+X2)2=9即(X+X2)2-4XiX2M1+(X+X2)2=9由、得2xIx2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo)1+(2xo)2=94y()-4温=+4.2-OO4y0=4+-=(4x+1)+-14打4焉+129-1=5,y;4历r历c当4X02+1=3即=-W,(比)min=Z此时(士彳7)法二：如图,2|MKI=IAA1+忸闵=IA4+

12、忸月A=3BWA1IjMB1x-A7M2B2-I313.M%5,bpmm1+-i.M1：,当AB经过焦点F时取得最小值。M到X轴的最短距离为?点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消X1X21从而形成yo关于XO的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到X轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】例6、已

13、知椭圆1+J=1(2Z5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线mm-1从左到右依次交于A、B、CsD、设f(m)=WqTCq,求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段投影”到X轴上，立即可得防/(7)=(xb-x)2-(xd-xc)2=2(x-xa)-(xd_XC)I=V2(x+Xc)-(x+Xd)|=2+Xc)此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。Xy-解：(1)椭圆一+7=1中，a2=m,b2=m-11c2=1,左焦点F(-1,0)m

14、W-I则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)2+my2-m(m-1)=0得(m-1)2+m(x+1)2-m2+m=0.,(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0设B(x1,y1),C(x2,y2),则x+2=-(2m5)2m-If(n)=B-CZ)=2(x-Xa)(-)=V2(X1+x2)-(xa+xc)=V2x1+x2=2-2m(2)f(m)=y2-=2(1+-)2m-I2m-1.当m=5时，/(w)min=当m=2时，/(Mmax=殍点评：此题因最终需求Xs+X-而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(xo,yo),通过将B、C坐标代入作差，得出+工=(),将y0=xo+1,k=1代入得mm-1%+1Cm一2m,二,xo=一可见+X。=7mtn-12m-12m-1当然，解本题的关键在于对/(=I1AqTCQ11的认识，通过线段在X轴的“投影”发现/(M=I+是解此题的要点。三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法