弹性力学作业答案第二章[共7页].docx

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1、弹性力学作业第二章平面问题的基本理论25在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件Mc=O,改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？解：将对形心的力矩平衡条件2Mc=0,改为对角点的力矩平衡条件ZMO,列出力矩的平衡方程 Md=0：xdy 1 y + yxdx 1 dy + （y + 署dy） dx =Tydydx + ydxy+ ( + idx) dy7 (dy)2 + yxdxdy + (dx)2 + dy(dx)2 =xydxdy 9(d)2 + 7 (dy)2 + 奈 dx(dy)2 。将上式除以dxdy,合并相同的项，得到Ty + 等 dx = Ty + 等 dy。yx

2、20y y 2 j省略去微小量不记（即瑞dx,获dy为0）,得出yx xy可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件2 Mc=0解出的结果一样。26在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：() = xx() = x-dyx(Ox)d = +dx.、8 x(x)c = x+-dx + dy(矶=yz xoy(Oy)B = % + dyz y(y)o = y + -dx(y) = y 2dx + -Tj-dy y/c

3、 y x y各点的切应力为：(y) a = y，(Txy)B = Qy + dy,(0y)D=0y + Mdx,(xy)c = xy + dx + dy,(Tyx)A = Ty(Tyx)B=Tyx+dy,(Tyx)D = Tyx+Mdx(yx)c = yx+dx + dy,由微分单元体的平衡条件 Fx=0, Fx=0得- (x) + () dy + t (x) + (x)cj dy - (%) + (y)r, cx + (y)(yx)Jdx + fxdxdy= 0,- (%)a +(叽 dy + t (y) (y)ci dy (%)a + (y) dx + l (y)(xy)cjj dx fy

4、dxdy = 0。将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy,就得到平面问题中的平衡微分方程(x 0vxi + 2i+f = O, yv xv-+-+fy = 0oy y28试列出图2L3,图214所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。(Tf解:对于图213中，在主要边界x=0, x=b上,应满足下列的边界条件:()=o =- pgy，(y)=o = ；(%)x=b =- pgy，(y)x=b = 。在次要边界y=0上，能满足下列边界条件:弹性力学作业(y)y=oPg%,(%)产0 = 0。在次要边界y42上，有位移边界条件：(u)y=h2 =

5、。，(v)y=h2 = 0o这两个边界位移条件用圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替，设板厚为1个单位，(y)y hzdx=-pg(h1 + h2)b,bY (y)y=h2xdx = 0o (y)y=h2dx = 00对于图2-15中，在主要边界y=h2上，应满足下列边界条件:(%)y=h2 =(y)y=h2=一 qi；(%)y=-h2=T(y)y=-h2 = 在次要边界上X=0,列出三个积分的应力边界条件：()=ody = - Fn ,d.2 ()=oydy =- m ,U-h/2 (y)x=od =- Fs。在次要边界x=上，有位移边界条件：(u)= = 0, (v)x=1 = 0o这两

6、个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答：7y=h2显然满足。在次要边界上x=0,(y)y=h2 = 。外力的主矢量、主矩为0,列出三个积分的应力边界条件:()=ody = 0 ,凿2 9)=oydy =-h2 (y)x=ody =在次要边界x=l上，有位移边界条件：(u)x=, = 0, (v)x=I = 00这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。C2(x)x=dy = j-2qdy = , 2 (x)x=1ydy =- 2qydy =-,、-h2 (y)x=1dy=2 - S(h2 - 4y2)dy =-1 。所以，满足应力边界

7、条件。上面两题的应力分量虽然满足应力边界、条件平衡条件，但都不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。218试试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为r V r Vfx=_ 瓦，fy =一金其中V是势函数，则应力分量可表示为_ 20 l w _ 20 l wO = + V Oy = + V, xy试导出相应的相容方程。xy解：(1)将f, fy代入平衡微分方得伊+鬻=0,U(y-v)+ = 0为了满足式(a),可以取(a)v _ 20v _ 20O - v =犷Oy - V =凉xy20xyH20 , v20 , v。2。即x=豕+ S y= + S 0y= 一丽。(2)至=对体力、应力分量f, fy, Q, Qy求偏导数，得52V一次f2Ny2a2x _402Vx2x2y2x22x _402Vy2y4y22y _402V24z,2y _a40a2vy22y2y2(b)将式（b）代入(%+劫(&+%)=_ (5+)（1 + Q得平面应力问题的相容方程:004。84。_x42y2y4V40 =- (1 - )V2Vo将式（b）得平面应变题的相容方程:代入仁+)(+%) =- +)()*24 + 型=_ (3 ”+型1,x4 xzy2 y4 l- / 2 y2J