重难突破微专题(四)截面问题.docx

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1、重难突破微专题（四）截面问题一、直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程.【典例1如图所示，在棱长为1的正方体A5CD-48G中，过对角线BDx的一个平面交棱A4于点E，交棱CG于点F，得四边形BFDE，在以下结论中,不正确的是（）A .四边形8尸。有可能是梯形!1!边形8尸口在底面ABCD内的投影一定是正方形!1!边形8尸口有可能垂直于平面BBQDD,四边形8FOE面积的最小值为芈【解析】选A.过BD作平面与正方体A3CD-A向CQi的截面为四边形BFDxE ,因为平面ABBiA 平面DCCD l且平面BEDiECl平面ABBA = B

2、E.平面8UEn平面DCCQ=DF , BEDF ,因此，同理O七3尸,故四边形BFDE为平行四边形,因此A错误；对于选项B ,四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形ABCD ,因此B正确；对于选项C ,当点E、/分别为A1 z CC1的中点时，成平面BBDD ,又EFU平面BFDE ,则平面3FQiEJ_平面BBlDD ,因此C正确；y62对于选项D ,当月点到线段BD的距离最小时，此时平行四边形BFDE的面积最小，此时点E、尸分别为AA1 z CG的中点，此时最小值为J 2 3 =因此D正确.二、作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过

3、点找直线的平行线找到几何体与截面的交线.【典例2如图所示，正方体ABCD-ACiDi的棱长为2 l E t F分别为AA zAB的中点，M点是正方形AMA内的动点，若平面CD】E ,则点的轨迹长度为【解析】如图所示，4%的中点H , BB的中点G ,连接GH , GH , C1G , EG ,HF.可得四边形EGG。是平行四边形，所以CiGDiE ,又GGQ平面CDE l OEU平面CD】E ,可得GG平面CD】E.同理可得CHCF ,平面CDE l又 GHCC1G=C1 ,所以平面GG”平面CDE.因为M点是正方形A3囱4内的动点，GM平面CDxE ,所以点M在线段GH上.所以M点的轨迹长度

4、为GH = pTp = 2 .答案：也三、作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线.【典例3在正方体ABCQ-A必G。中，M , N分别是棱DD和8囱上的点，MD = DD , NB* BBi l那么正方体过点用，N, G的截面图形是（）A .三角形B .四边形C .五边形D .六边形【解析】选C.在正方体A8CZ45G。中，M , N分别是棱DD和BBi上的点,MD = DD-NB = ； 8囱,如图，延长GM交CD的延长线于点P ,延长GN交CB的延长线于点。，连接PQ交AD于点E , AB于点F ,连接NF , ME

5、 ,则正方体过点M , N , G的截面图形是五边形.四、辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.【典例4棱长为1的正方体A8CD-AB6口中，点尸在线段AO上，（点尸异于A ,。两点），线段的中点为Q ,若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP长度的取值范围为（八11A . (0 z 3 B . , 1C . 1 , 1)D . (0 , 1 【解析】选D如图，设平面BPQ与直线CC1交于点E ,因为ABCD-AiBiQDi是正方体,所以平面AQQA 平面BCCiBi l而平面 BPQn平面 ADDA = PQ ,平面 3PQC平面 BCCiBl = BE ,所以 PQBE ,则4PQQs48CE ,Cl-,f2 因尸斤以OQ - CE ,所以PD =器DQ =要使平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需要点E在线段CC1 ,当点尸在点A处时，E恰好在线段CG的中点处,因为点P在线段AO上，所以; CE .所以1 2终2 ,PD .所以0 AP ,即AP的范围为（0 , 1 .