第十三讲 一元二次方程的判别式与根系关系(教师版).docx

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1、第十三讲一元二次方程的判别式与根系关系一、一元二次方程的判别式1.知识导航根的判别式示例剖析应用一：不解方程，直接判断方程根的情况不解方程，直接判断下列方程的解的情况：7x2-x-1=0(D9x2=4(3x-1)(3)x2+7x+15=0设一元二次方程为ax+bx+C-0(。0),其根的判别式为：=/4QC贝IJ40o方程ax2+bx+C=0(0)有两个不相等的实数根=0。方程ax2+bx+C=0(。0)有两个相等的实数根AvOo方程ax+bx+C-0(。0)没有实数根注：Z.0o方程ax2+bx+c=0(40)有实数根或有两个实数根x2-(m+1)x+=0(m为常数)解：(),有两个不相等实

2、根=(),有两个相等实根0,方程有两个不相等实根应用二：已知方程根的情况，求参数及参数的取值范围1、关于X的一元二次方程(1-2左)2-2I工TX-1=0有两个不相等的实数根，则上的取值范围为.r-2)to解：由题意，得左+1O,解之得-I9,左0k-.22、已知关于X的方程?+2(4+2)x+4=0有实数根，则的取值范围为.解：当Q=O时，原方程为4x=0有解，故Q=O符合题意；当.0时，aQ由题意，得人22=2(6z+2)2-46z2.0解之得a.-1且0；综上，a.1应用三：根的判别式在几何中的应用2.基础热身例题11 .已知关于X的一元二次方程(左-1)2f+(2左+1)x+1=O有实

3、数根，则k的取值范围为答案七且左14解析由题知，NT)20,解之得此!且左1.A=(2左+1)24(左一if.。42 .若关于X的一元二次方程Ax2-2x+1=0有实根，则k的取值范围是.答案匕,1且左0解析由题意可知一元二次方程中二次项系数左0,再因为一元二次方程有实根，所以4=(-2)2-4X左X1=44左.0,所以解得匕,1.所以综上所述，鼠1且左0.3 .若方程(加+2)2(加+1)x+m=0只有一个实数根，试讨论方程(m+1)x2-2mx+m-2=0根的情况.答案有两个相等的实数根.解析，方程(加+2)7一2(机+1)x+m=。只有一个实数根，.zn+2=0,得根=一2.二.方程(根

4、+I)-2nvc+m-2=0,即为方程一f+4x-4=0,.=42-4(-1)(-4)=O.方程(血+1卜22mx+m-2=0有2个相等的实数根.特别注意方程(M+2)f2(zn+1)+机=0只有一个实数根.若m+20,则方程要么有2个根(相等或不相等)，要么没有实数根.条件指明，该方程只有1个实数根，所以m+2=0,且加+10.4.当外为何值时，方程12+2(1+)+(32+4+4/+2)=0有实数根？答案a=1,b=.2解析原方程的判别式为=4(1+a)2-4(3片+4ab+4b2+2)=-4(2a2+4ab+4Z?2-2+1)=-4(+2)2+(6i-1)2.，原方程有实根，.()，(+

5、2)2+(-1)2,0,根据平方的非负性得(+2)2+(-1)2.0,.(4+2力2+31)2=0,q+2Z?=0,q1=0,17I:.a=1,b=.2例题2I.已知以AC为ZXABC的三边，请判断关于X的方程(+b)f+2CX+(+)=O根的情况.答案方程无实根解析q+00.方程为一元二次方程=4c2-4(.+Z?)2=4(c+a+bc-a-ba0,b0,c0,a+bc.c+a+bQ,c-a-bO.A0,.方程无实根.2.已知以b、C是ZXABC的三边，且方程+20-c)x+(q-)(c-.)=。有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状.答案A4BC为等边三角形。tf=4(-c)2一4(一

6、/7)(0一)=4(2+2+c2-ab-bc-acj=2(-)2+(-c)2+(-c)2方程有两个相等实根，.=0,BP2(-)2+(-c)2+(-c)2=0:.ab=bc=ac=O即a=c.ABC为等边三角形。例题3已知关于X的一元二次方程f(左+3)x+3左=0.(I)求证：不论左取何实数，该方程总有实数根.(2)若等腰A4BC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根，求A4BC的周长.答案(I)证明见解析.(2)ZWC的周长为7或8.解析（1）=（左+3）24x3左=（左一3）2.O,故不论左取何实数，该方程总有实数根.（2）当A4BC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根,则（左-3）

7、2=0,解得k=3,方程为X2-6x+9=O,解得AI=X2=3，故ZWC的周长为：2+3+3=8.当ZXABC的一腰长为2时，方程有一根为2,方程为X2-5x+6=0,解得，x1=2,巧=3，故J1BC的周长为：2+2+3=7.综上所述，ZWC的周长为7或8.二、一元二次方程的根系关系1 .知识导航一元二次方程的根系关系（韦达定理）韦达定理示例剖析若方程ax+bx+C-0（。0）的两根是为、X2?.0贝U卜1+=ax1x2=1a注意：隐含的条件.0应用一：已知一根，求另一根1、已知x1=3是关于X的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是多少？法1：将X1=3代入原方程得：

8、c=3 =1法2：由题可得：3+x2=4 =1应用二、已知方程，求关于两根的代数式已知实数ab是方程/%_1=0的两根，求代数式2+3的值.ab=50解：由题知：a-b=1,ab=-1bab2+a2（Q+Z?）2-Iab。+=3ababab应用三：已知方程和两根的关系求字母系数已知关于X的方程x2-13x+=0的两根a、力满足条件a-3=,求左的值.解：由一元二次方程根与系数的关系得：oc+=13,cr3=1联立方程组解得：a=10,/7=3.,.k=a=302 .基础热身例题41.已知方程2+te-3=0的一个根是X=-,求它的另一个根及Z?的直2答案X1=3,b=-5.3 解析方法一：设方

9、程的另一根为不，则由方程的根与系数关系得：4 .进阶练习例题5已知出是方程/+5x+2=()的两个实数根，求下列代数式的值:(2)(2x1+1)(2x2+1).(3)迤+%.5 4)x1-x2.答案(1)21.6 2)-1.(3)卫.2(4) 7.解析(1)由韦达定理知玉+巧=-5,x1x2=2.于是x1O,x20.则X：+君=(A1+X2)2-212=21.(2)由韦达定理知%1+x2=-5,x1x2=2.于是x10,x20.则(2国+1)(2%2+1)=4甬%+2(%+)+1=1.(3)由韦达定理知西+%2=-5，再勺=2.于是XIV0,x20.J1!j+=%1+2=.x1x2X1X22(

10、4)由韦达定理知玉+%2=5,x1x2=2.于是X1V0,x20.则X1-X1-J(%+X2)2-4x1=7.例题61 .已知a,分是方程f+2%-5=0的两个实数根，则4+皿+2。的值为.答案O解析I?+25=O,a=S,BPa2+2a=5,a=-5,原式=a2+2a+a=5+(-5)=O.2 .已知利是有理数，并且方程/+尔+=0有一个根是不一2,那么机+几=.答案3解析方法一：由于血九是有理数，并且方程12+心+=。有一个根是行2,所以方程的另一个根是行2.由韦达定理知：m=(-5-2)+(5-2),z2=(-5-2)(5-2).m=4,n=-1,.m+n=3.方法二：由题得方程有2个实

11、数根，x1=5-2,且卜+%2=-mxix2=y/s2+%2=一根(百_2).%2=:.x2=2-m-f5带入,2=(5-2)(2-m-5)=2m-9+(4-m)百.m,为有理数，:.m=4,:.n=1.m+n=3.3 .设国，是方程fx2014=0的两个实数根，贝IJXI3+2015%2014=.答案2015解析由已知可得：x1m=2-x1-2014=0.%；2014X=0,BPx13=x12+2014x1.再结合XI2=1+2014.Axf=2015+2014.原式=2015(x1+),由韦达定理即可得到x13+2015x2-2014=2015.例题7已知关于X的一元二次方程x2-(2m+

12、3)x+m2+2=0.(1)若方程有实数根，求实数机的取值范围.(2)若方程两实数根分别为mx2,且满足xJ+%22=31+We,求实数根的值.答案(1)m.-.12解析(1)关于元的一元二次方程2(2根+3)x+/+2=0有实数根,/.0,即(2机+3)24(*+2).0,1TY1.12(2)根据题意得玉+%2=2m+3,x1=m2+2,+君=31+1x1X21，.,.(x1+x2)2一2玉巧-31+x1x2,即(2m+3)2-2(m2+2j=31+m2+2,解得加=2m=-14(舍去)，.m=2.二、课堂展不巩固1若关于X的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，则M=.答案-1解析方程

13、有两个相等的实数根，则a=0,.4+4m=0,故m=-1.巩固2关于X的方程(加-2)f4嬴+；=0有两个实数根，则根的取值范围是答案”，,且加22解析方法一：m-20由题知，3m.0,二(73-m)2-4(m-2)-.0/.tn,Mm2.故答案为：名,*且机w2.2方法二：方程(m-2)/一43-3：+9=0有两个实数根,m-20m-20.1解析(x+1)2=1-左无实根，.1k1.巩固4如果关于X的一元二次方程1(1+2)+2ZzX=C(I-V)有两个相等的实根，那么以正数a,h。为边长的三角形是().A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.任意三角形答案C解析将方程化成一般形式：(+c)x2+27x+(-c)=O.+cw,方程有两个相等实根，.=42-4p-c2)=0.即。2=/+。2,.为直角三角形，选c.巩固5已知关于X的一元二次方程x2+3x+-=0.4(1)如果此方程有两个不相