五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D7.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(8x+41)4二阶导数。T2：求y=F的二阶导数。T3：求y2x二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(5x+22)的二阶导数。T5：求y=e9x2cos3x+9x二阶导数。T6：求y=1n(3xj5x2-82)的二阶导数。二、函数和差类型二阶导数T7：求y=7x3+27-3的二阶导数。T8：求y=24x8+24

2、x5-27x+75的二阶导数。T9：求y=x8-2x5+8x+23的二阶导数。T10：计算y=11x6-sin7x的二阶导数。T11：求y-cos(7x+10)+x8+e1的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(21-48x)的二阶导数。T13：y=x的二阶导数。T14：y=9*135c的二阶导数。T15：求y=e-x5+2的二阶导数。zT16:y-sin14x*cos42x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(3x+4y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数T18：求尸一就的二阶导数。x+33T19：函数y-17的二阶导数。X-17x+122xT20：求尸

3、就的二阶导数。恂：计算y唱F的二阶导数。22：求y=13x+1的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数T23：y=sin4x求二阶导数。了24：求函数y=cos2xtan5x的二阶导数。T25：上十皿cos(6x+8),w.DM求函数尸X的二阶导数。T26：求Z=Sin(X2+2Oy)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin3(9x+2y)的二阶偏导数。(T28：求函数z=sin-4y4+e7的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(8x+41)4二阶导数。解：y=(8x+41)y,=4(8x+41)3*8,=32(8x+41)3,yw=32*3(8x+41)2*8,=768(8x+4

4、1)2oT2：求y=沟或的二阶导数。解：y=92-9x2,t11y2i,t92-9x211*(92-9x2),=*-2J92-9x2*(-18x)=-9J92-9x2,或-92-X*：yw=-9*1二18x2J92-9x292-9x29*92(92-9x2)3T3：求y=e二阶导数y”的计算过程。解：y=e2y=e*2,yff=e2x*2*2=22*e2xoT4：计算y=sin(5x+22)的二阶导数。解：y=sin(5x+22),y,=Cos(5x+22)*5,yw=-sin(5x22)*5*5,=-52*sin(5x+22)oT5：9x2cos3x+9xe二阶导数。解:_9x2cos3x+

5、9xy-，y,=e92cos3x+9x*9(2xcos3-2sin3x*3)9,y,=y9(2xcos3-2sin3x*3)+9,yw=y,9(2xcos3-2sin3x*3)+9+9(2cos3-2xsin3x*3-2xsin3x*3-2cos3x*32)y。T6：求y=1n(3-5x2-82)的二阶导数解：y=1n(3x5x2-82),3.Jx3-x2-82，35x2-82-5x5x2-82(3x-5x2-82)B，A,B-ABf白y=:评一,其中：3*515,6R诋彳(3x卡4)*(3-庖N,二、函数和差类型二阶导数T7：求y=7x327-3的二阶导数。解：y=7x3+27x-3,y,=

6、7*3x2+27,yw=7*3*2x=42*oT8：求y=24x8+24x5-27x+75的二阶导数。解：y=24x8+24x5-27x+75,y,=192x7+120x4-27,yw=1344x6+480x3oT9：求y=x8-2x58x+23的二阶导数。解：y=x8-2x+8x+23,y,=8x7-10x4+8,y=566-40x)T10：计算y=11x6-sin7x的二阶导数。解：y=11x6-sin7x,y,=66x5-7cos7x,yw=330x472sin7xozT11:求y-cos(7x10)+x8e1的二阶导数过程。解：y=cos(7x10)+x8+e4,y,=-7sin(7x

7、+10)+8xy=-72cos(7x+10)+56x6o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(21-48x)的二阶导数。解：法一：y,=21-48xx*(-48)=21-48x,yn=-48o法二：y=x(21-48x)=21-48x2,y,=21-48x,yff=-48oT13:y=jx的二阶导数。解：y=xe8xy,=e8x+8xe8x,yw=8e8x+8e8x+82xe8x,=8e8x(2+8x)oT14：y=9*13的二阶导数。解：y=x9*13x,y,=9x8*13x+x9*13x*1n13,y=9(8x7*13x+x8*13x*1n13)113(9x8*13xx9*13x*

8、1n13) oT15：求y=e-x*2的二阶导数。钮-x52解：y-xe,y=e5+2+xe5+2*(-5x4),=e-5+2-5e5+2*x5,yn=e5+2*(-5x4)-5e5+2*x5(-5x4)+e5+2*5x4,=-5(6-5x5)e5+2*x4oT16：y=sin14x*cos17x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin14x*cos17x,y,=14cos14xcos17-17sin14xsin17x,y=-142sin14xcos17-238cos14xsin17-238cos14xsin17-172sin14xcos17x,=-(142+172)sin14xcos17-

9、476cos14xsin17xo法二：y=sin14x*cos17x,由积化和差公式有：y=sin31x+sin(-3x),y,=*31cos31x+*(-3)cos(-3x),乙乙yw=-*312sin31-*(-3)2sin(-3x)oT17：Z=XIn(3x+4y),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1 1/C,13dx+4dydz=1n(3x+4y)dx+-记3x4dz=1n(3x+4y)+q,y1dx+xq,y1dy,3x+4y3x+4y则函数z分别对X的一阶偏导数为：Ozr/C,3x=1n(3x4y)-,A7A.瞟乂就,继续求二阶偏导数有：z33(3x+4y)-3xx23x+

10、4y+(3x+4y)2,_312y3x4y+(3x+4y)252z42xy2(3x+4y)2VzVz4OXxyyx3x+4y(3x+4y)2四、函数商类型二阶偏导数T18：求尸技的二阶导数。XOO解:x-15x+33,x+33-x+15_48y(x+33)2=(x+33)2；96V=(x+33)3法二：方程变形为y(x+33)=x-15,两边求导有:y,(x+33)+y=1,再次求导：yn(x+33)+y,+y,=0,y”(x+33)=-2y,=-2悬，函数y=的二阶导数。解：-意,用商求导法则有:.2xT7y-36(x2-17x+1)2；ii(x2-17x+1)2-2(2x-17)2(x2-

11、17x+1)y*(2-17x+1)4Ze2-%+-*?)?(x2-17x+1)33x2+51x+44=72(x2-17x+1)3o22xT20：求尸就的二阶导数。22x解：法一：y=02，使用商求导法则:1b+x,22(16+2)-22*2xy=ifri二22(16-2)16+x2；-22(-2x)(16+2)-(11?)*2xy=(ifr1一X(16+x2)-(16-x2)X=-44(16P，二-88(1Ix)2法二：乘积法，此时y(1fr*)=22x,两边求导有:y,(16+x2)+2xy=22,再次求导有:yH(16+x2)+2xy,+2y+2xy,=0,2(2xv，+V)yT扁4,再将

12、y和y代入化简,y1,=-88x3(16+x2)2了21：计算的二阶导数。解：y=sin15xx+16,15CoSI5x(x+16)-SinI5xA二(x+16)2=B；A,=-152sin15x(x+16)+15cos15x-15cos15x=-152sin15x(x+16),B,=2(x+16),-Esin1Sx(x+16)(x+16)2-2115COSI5x(x+16)-SinI,5x(x+16)y=(x+16)43T52sin15x(x+16)(x+16)-2115cos15x(x+16)-SiS15x二(x+16)322：求y=13x+1的二阶导数。X解：y=13-1jx2-1-2x

13、2C1+2n2x(x2-1)-2x(x2+1)V=西了一-14(X2-D2五、三角函数二阶偏导数(T23：y=sinx求二阶导数。解：y=sin4x,求复合函数求导法则有：y,=4sin3x*cosx;yn=4(3sin2xcos2-sin3xsinx),=4sin2x(3cos2-sin2x)oT24：求函数y=cos2xtan5x的二阶导数。解：y=cos2xtan5x,求函数乘积求导法则有：y,=-2sin2xtan5x+5cos2xsec25;y,=-2(2cos2xtan5x+5sin2xsecx)+5(-2sin2xsec25x+10cos2xsec25xtan5x),=-22cos2xtan5-20sin2xsec25x+50cos2xsecxtan5xo4c八十期cos(6x8),waCaMT25：求函数尸的二阶导数。X有cos(6x+8)上7显生上-解：y=,求函数商求导法则有：X,-6sin(6x+8)-cos(6x+8)y=2;X6sin(6x+8)x+cos(6x+8)A=5X2B,1A,B-AB-y=不,其中：A,=62cos(6x+8)x+6sin(6x+8)-6sin(6x+8)=62cos(6x+8)x,B，=2x,代入上述二阶导数，有：62cos(6x+8)x*x2-2x6sin(6x+8)x+