五类型函数的二阶导数计算方法举例习题及答案D5.docx

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1、主要内容：本文举例介绍基础复合函数型、和差型、乘积型、商型、三角函数型等类型函数的二阶导数及二阶偏导数的计算步骤。1 .基础复合函数二阶导数2 .函数和差类型二阶导数3 .函数乘积类型二阶导数4 .函数商类型二阶偏导数5 .三角函数二阶偏导数一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(6x+9),二阶导数。T2：求尸芦而的二阶导数。T3：求尸辞二阶导数y”的计算过程。T4：计算y=sin(15x+37)的二阶导数。T5：求y=e1x%sx+40x二阶导数。T6：求y=1n(11-82-32)的二阶导数。T8：求y=10x4+4x7-41x+68的二阶导数。T9：求y=x3-8x3+44x+58的二阶

2、导数。T10：计算y=6x-sin3x的二阶导数。T11：求y-cos(6x+14)+x5+e5的二阶导数过程。三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(54-24x)的二阶导数。T13：y=e5的二阶导数。T14：y=3*11,的二阶导数。T15：求y=e-+2的二阶导数。zT16:y-sin16x*cos30x,求此函数的二阶导数。T17：z=x1n(10x+20y),求其所有二阶偏导数。四、函数商类型二阶偏导数Y-14T18：求尸三疏的二阶导数。xtyoT19：函数的二阶导数。T20：求尸箫的二阶导数。恒：计算y一小的二阶导数。了22：求k18x+号的二阶导数。五、三角函数二阶偏导数

3、T23：y=sin6x求二阶导数。了24：求函数y=cos7xtan3x的二阶导数。T25：上一山,cos(9x+30),r人D皿求函数y=-的二阶导数。T26：求Z=Sin(X2+2Oy)的二阶偏导数。T27：求Z=Sin14x+33y）的二阶偏导数。5T28：求函数Z=SinxV+e?的二阶偏导数。X参考答案一、基础复合函数二阶导数T1：求y=(6x+9)二阶导数。解：y=(6x+9)4,y,=4(6x+9)3*6,=24(6x+9)3,yw=24*3(6x+9)6,=432(6x+9)2oT2：求尸芦而的二阶导数。解：y=52-10x2,y=r-g,4,t5Mox2*(-20x)=10*

4、r，52-10x2-20xyff=-10*Y#-I=252-IOx252-10x21052=(52-10x2)3T3：求尸小二阶导数y”的计算过程。解：y=e9y,=e9x*9,yff=e9x*9*9=92*e9xoT4：计算y=sin(15x+37)的二阶导数。解：y=sin(15x+37),y,=cos(15x+37)*15,yw=-sin(15x+37)*15*15,=-152*sin(15x+37)oT5：求y=e1x%osx+40x二阶导数。解：y=e10x2cosx+40xjy,=excosx+x*10(2xcos-2sinx)+40,y,=y10(2xcos-2sinx)+40,

5、yw=y,10(2xcos-2sinx)+40+10(2cos-2xsin-2xsin-2cosx)y。T6：求y=1n(11-82-32)的二阶导数解：y=1n(11-8x2-32),11r8xy11x-8x2-32，118x2-32-8x_A8x2-32(11x-8x2-32)B，y=A,B-AB14.:评一,其中：11*8OO荷彳(I1X卡奇*(口一赤于二、函数和差类型二阶导数T7：求y=4x6+16-49的二阶导数。解：y=4x+16-49,yr=4*6x+16,yw=4*6*5x4=30*22x4。T8：求y=10x+4x7-41x+68的二阶导数。解：y=10x4+4x7-41x+

6、68,yr=40x3+28x6-41,yw=120x2+168x5oT9：求y=x3-8x3+44x+58的二阶导数。解：y=x3-8x3+44x+58,y,=3x2-24x2+44,yw=6-48x=-42oT10：计算y=6x-sin3x的二阶导数。解：y=6x5-sin3x,y,=30x4-3cos3x,yw=120x3+32sin3xozT11:求y-cos(6x14)+x5+e5的二阶导数过程。解：y=cos(6x+14)+x5+e5,y,=-6sin(6x+14)+5x4,yn=-62cos(6x+14)+20x3o三、函数乘积类型二阶导数T12：求函数y=x(54-24x)的二阶

7、导数。解：法一：y,=54-24xx*(-24)=54-112x,yw=-1120法二：y=x(54-24x)=54-24x2,y,=54-112x,yff=-112oT13：y=e5的二阶导数。解：y=xe5xy,=e5x+5xe5x,yw=5ex+5ex+52xex,=5ex(2+5x)oT14：y=3*的二阶导数。解：y=x3*1,y,=3x2*1+x3*1*1n11,y=3(2x*11x+x2*11x*1n11)+In11(3x2*11xx3*1*1n1DoT15：求y=e-x%2的二阶导数。的_-x?+2解：y-xe,y=e2+2+xe2+2*(-2x),=e-2+2-2e2+2*x

8、2,y=e-2+2*(-2x)-2e2+2*x2(-2x)+e2+2*2x,=-2(3-2x2)e2+2*oT16：y=sin16x*cos27x,求此函数的二阶导数。解：法一：y=sin16x*cos27x,y,=16cos16xcos27-27sin16xsin27x,yw=-162sin16xcos27-432cos16xsin27-432cos16xsin27-272sin16xcos27x,=-(162+272)sin16xcos27-864cos16xsin270法二：y=sin16x*cos27x,由积化和差公式有：y=sin43x+-sin(-11x),y,=*43cos43x

9、+*(-11)cos(-11x),乙乙yh=-*432sin43-*(-11)2sin(-11x)oT17：Z=X1n(Iox+2Oy),求其所有二阶偏导数。解：对方程全微分有：1I八八CC一10dx+20dydz=1n(10x+20y)dx+x1+9vdz=1n(10x+20y)+dx+x12ody,10x+20y10x+20y则函数z分别对X的一阶偏导数为：zn/SCCIoX其=In(IoX+2Oy)+0+20y,3，继续求二阶偏导数有：-Z1010(10x+20y)-10xx210x+20y+(10x+20y)2,1020Oy=10x+20y+(10x+20y)2;d2z_202x旷一(

10、10x+20y)2；-zVz20OXxyyx10x20y(10x+20y)2四、函数商类型二阶偏导数Y-14T18：求尸票的二阶导数。x-tyoa一x-14解：法一：y=z+98,x98-+14112y(x+98)2=(x+98)2；224V=(x+98)3法二：方程变形为y(x+98)=x-14,两边求导有:y,(x+98)+y=1,再次求导：y(x+98)+y,+y,=0,y”(x+98)=-2y=-2悬，V-2I-224y-(x+98)2(x+98)3T19：函数尸29八/的二阶导数。X-20x+6解：?晨花,用商求导法则有:12-20y=5(x2-20x+6)2;112(x2-20x+

11、6)2-2(2x-20)2(x2-20x+6)y*而E32+60x+50=IM(X-20x+6)3o95T20：求尸箫的二阶导数。25解：法一：y=z-,使用商求导法则:5+xt25(5+x2)-25x*2xy=525(5-x2)=5+x21f25(-2x)(5+x2)-(5-1*2xy=，=07法二：乘积法，此时y(5+x2)=25x,两边求导有:y,(5+x2)+2xy=25,再次求导有:yH(5+x2)+2xy,+2y+2xy,=0,2(2xv*+v)yw=-p1,再将y和y代入化简,y,=-100x3(5+x2)2了21：计算尸寸的二阶导数。解：y=sin13xx+8,_13cc)s1

12、3x(x+8)-SinI3xA=(x+8)2；nA,B-AB,y=B2,其中:A,=-132sin13x(x+8)+13cos13x-13cos13x=-132sin13x(x+8),B,=2(x+8),ttT32sin13x(x+8)(x+8)?-2113CoSI3x(x+8)-SinI3x(x+8)y=(8TT3%in13x(x+8)(x+8)-213cos13x(x+8)-SinI3x=(x+8)322：求y=18x+号的二阶导数。X解：y=18x+37，.-Cx2-37-2x2y=18+x2-372x(x2-37)-2x(x2+37)(x2-37)2-374(x2-37)2五、三角函数

13、二阶偏导数(T23：y=si6求二阶导数。解：y=sinx,求复合函数求导法则有：y,=6sin5x*cosx;yn=6(5sin4xcos2-sin5xsinx),=6sin4x(5cos2x-sin2x)。T24：求函数y=cos7xtan3x的二阶导数。解：y=cos7xtan3x,求函数乘积求导法则有：y,=-7sin7xtan3x+3cos7xsec23;y,=-7(7cos7xtan3x+3sin7xsec23x)+3(-7sin7xsec23x+6cos7xsec23xtan3x),=-72cos7xtan3x_42sin7xsec23x+18cos7xsec23xtan3o4c上十期cos(9x30),”人D业.T25：求函数尸的二阶导数。X有cos(9x+30)上7上匕斗七解：y=,求函数商求导法则有：1-9sin(9x+30)x-cos(9x+30)y=；9sin(9x+30)x+cos(9x+30)A二一=B；A,B-AB,一y=记一,其中：A,=92cos(9x+30)x+9sin(9x+30)-9sin(9x+30)=92cos(9x+30)x,B=2x,代入上述二阶导数，有：1192cos(9x+30)x*x2-2x9sin(9x+30)x+cos(9x+30)y=，92cos(9x+30)x2-29sin(9x+30)x+cos(9x+30)