函数的有关概念.docx

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1、函数的有关概念函数的有关概念1.函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数X ,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就 称f ：A&raxr；B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f (x) ,x&isin； A. 其中，X叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与X的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合f (x) I x&isin；A 叫做函数的值域.注意：1 .定义域：能使函数式有意义的实数X的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3

2、)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它 的定义域是使各局部都有意义的X的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无 关);定义域一致(两点必须同时具备)2 .值域：先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3 .函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x&isin；A)中的X为横坐标， 函数值y为纵坐标的点P(X ,y)的集合C ,叫做函数y=

3、f (x), (x &isin； A) 的图象 C上每一点的坐标(X ,y)均满足函数关系y=f(x),反过来，以满 足y=f (x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(X ,y),均在C上.(2)画法1.描点法：2.图象变换法：常用变换方法有三种：1)平移变换2)伸缩 变换3)对称变换4 .区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区 间的数轴表示.5 .映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法那么 f ,使对于集合A中的任意一个元素X ,在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： AB为从集合A到集合B的一个映射。记作

4、“f (对应关系)：A(原象)B(象)对于映射f： A&rarr；B来说,那么应满足:(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6 .分段函数(1)在定义域的不同局部上有不同的解析表达式的函数。(2)各局部的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.补充：复合函数如果 y=f (U)(U&isin； M), u=g(x) (x&isin；A),那么y=f g(x) =F(x) (x&isin； A)称为 f、g 的复合函数。二

5、.函数的性质1 .函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f()的定义域为I ,如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量xl ,x2 ,当xl如果对于区间D上的任意两个自变量的值xl ,x2 ,当XIf(X2),那么就 说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；(2)图象的特点如果函数y=f()在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f()在 这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右 是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3) .函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：(I)任取 x

6、l , x2isin; D ,且 xl(2)作差f(xl)-f(x2);或者做商(3)变形(通常是因式分解和配方)；(4)定号(即判断差f (x 1) -f (x2)的正负)；(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x) ,y=f(u)的单调性密 切相关，其规律：“同增异减注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的 区间和在一起写成其并集.8 .函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数：一般地，对于函数f()的定义域内的任意一个X ,都有f(-x)=f(x),那

7、么f(x)就叫做偶函数.(2)奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个X ,都有f (-X)-f(X),那么f(X)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函 数的图象关于原点对称.9 .利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；2确定f(r)与f(x)的关系；新I课I标I第I一I网3作出相应结论：假设f (-x) = f (x)或f (-)-f (x) = O ,那么f(x) 是偶函数;假设f(-x) =-f()或f(-)+f() = O ,那么f(x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶

8、性的必要条件.首先看 函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，(1)再根据定义判定；(2)由f (-x)±； f (x)=0或f(x)f(-x)=±； 1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.10、函数的解析表达式(1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关 系时，一是要求出它们之间的对应法那么，二是要求出函数的定义域.(2)求函数的解析式的主要方法有：L凑配法2.待定系数法3.换元法4.消参法11.函数最大(小)值1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f()在区间a ,b上单调递增，在区间b ,c上单调递减 那么函数y=f (x)在x=b处有最大值f (b)；如果函数y=f(x)在区间E ,M上单调递减，在区间b ,c上单调递增 那么函数y=f (x)在x=b处有最小值f (b)；