专题02 空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题（解析版）.docx

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1、专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj, b= (x2,y2,z2),则r I(1)a + h= (xi + X2,yl+ y2l+ Z2).X *(2) a- b = & -赴，M-必，-z2)(3) / a= (/ x1,/ JpZ zl).r 1(4) ac!b xix2 + j,y2 + z1z2.(5)若功为非零向量，则之 bfa b - 0? x1x2 J1 y2 + zlz2 = 0 .(6)若b I 0 ,则5/? a lb? XJ / x2, jl = I y2tz, = I z2.(7) a = yfa2a JAf + N；

2、+ z；.(8) COSJ = = ,X，产_：向W M + y； + z： ?JR + z；(9) A(xpypz1), B= (x2,y2,z2),则ab =:B = J( -芭一+ (力-犷 + 一/.2.在空间中，取定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量aUUUi rr表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点R ,有AR = S ,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空

3、间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O ,它们的方向向 r 1uuu r 1量分别为 , b R为平面上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得OR= m+ yb ,这样点O与 向量;，力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量： UlIlUlMl若A、B是直线/上的任意两点，则AA为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非 零向量也是直线/的方向向量.平面的法户量：若向单，所在直线垂直于平面 ,则称这个向量垂直于平面。，记作力人白,如果,人。， 那么向量;?叫做平面。的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设

4、平面的法向量为7= (x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标= (1,a2,3), b= Sl也也).、r rH 9/10根据法向量定义建立方程组.nib 0解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量. (如图)6.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线/的方向向量分别是4、6 ,则要证明/4，只需证明。匕，即4= &力（&?R）. 即：两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行（”一）设直线/的方向向量是 ,平面的法向量是，则要证明/ ,只需证明。人u , 即0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以

5、在平面内找一个向量与已知直线的方向 向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为，平面力的法向量为y,要证 b ,只需证 y,即证=/丫. 即：两平面平行或重合=两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量分别是：、力，则要证明只需证明 力，即：?力0.即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线/的方向向量是,平面的法向量是，则要证明,只需证明。1 1 1，BP a = / M .（法二）设直线/的方向向量是i平面内的两个相交向量分别为；?、；，若、r u-Ialm 0 rll,Ir r ,则/八内储? 0即：直线与平面垂直=直线的方向向量与

6、平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内 两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为平面方的法向量为；，要证b,只需证i,即证0. 即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1. （2021山东高二阶段练习）如图，已知四棱锥尸底面是矩形，且A4_L平面ABCD, E、尸分别是A8、PC的中点.（用向量法解决下列问题）（1）求证：浮，AP, AD共面.（2）求证：EFVAB【解析】（1）如图，以A为原点，分别以AB，AZ），AP分别为X轴，）轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-g，z.设AB = 2, BC = 2b, PA = 2c,则 A(0,0,0), 8(2,0,0), C(

7、24,2Z,0), D(O,2,O), P(0,0,2c),因为E为A8的中点，尸为PC的中点，所以 E(, 0,0), F(a, b,c),EF = (O,b,c), AP = (0,0,2c), Ao = (0,2b,0),所以 E/= LaP+aZ), 22所以浮，AP, Az)共面.(2)因为 A8 = (24,0,0), EF = (O,c)所以 A8EE = 24x0+00+0c = 0,所以 ABL EF，所以 ALEF例2.(2021全国高二课时练习)如图，已知在正方体4BCO48CQl中，M, M P分(2)平面 MNP平面 CCIGD.【解析】(1)证明：以。为坐标原点，D

8、4，DC，DD的方向 分别为x, y, Z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2,则A(2, 0, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 0), (l, 0, 1), Ml，1，0), P(l, 2, 1).所以。A=(2, 0, 0)为平面CeDI。的一个法向量.由于MN=(O，I，-1),则 MN DA =02 l0+(-1)0=0,所以 mNLD4又MNa平面CGD所以MN平面CGz)D.(2)证明：因为0A=(2, 0, 0)为平面CGdD的个法向量，由于Mp=(0，2，0), MN=(0，1, 1)MPDA = O则，MNDA = O即。A=(2, 0, 0)

9、也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP平面CCIfD.例3. (2021.北京通州.高二期中)在空间直角坐标系Oqz中，已知向量45 = (1,0,0), AC = (0,2,0), Ao = (0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量 ；(2)求平面BCo的法向量；(3)求点A到平面BC。的距离.【解析】(1)因向量AB = (LO,0), AC = (0,2,0),则CB = 48-AC = (1,-2,0),于是得 148ICOS48, C8色二丝与。=!。,-2,0) = (二0),CB IC55 512所以向量AB在向量CB上的投影向量 = (g, - ,O).(2)

10、因向量 AC = (0,2,0), AQ = (0,0,3),则 Co = 4。一 AC = (O,-2,3),由(1)知 C3 = (1, - 2,0),设平面38的一个法向量 = *,y,z),则F 二：八，令尸3,得 = (6,3,2), nCD = -2y + 3z = 0所以平面3CQ的法向量 =(6,3,2).(3)由(2)得点A到平面BCD的距离d =四Wl = =： = , HI 62 +32 + 22 7所以点A到平面BCQ的距离为亨.过关测试一、单选题1. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中，己知47,1,3),则点A关于XOZ平面的对称点的坐

11、标为()A. (1,1,-3)B. (1,1,3)C. (1,1,-3)D. (1,1,3)【答案】D【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得A(T,1,3)关于XOZ平面的对称点的坐标为(TT3), 故选：D.2. (2021全国高二课时练习)己知.ABC的三个顶点分别为A(U,0), 8(0,1,2), C(2,l,l), 则BC边上中线的长度为()A. !B. 1C. -D. 222【答案】C【分析】利用空间中两点间的距离公式求解.【详解】因为.4?C的三个顶点分别为A(l,1,0), 8(0,1,2), C(2,l,l),所以BC的中点坐标为(

12、14,),所以5C边上中线的长度为J(17)2+(1-1)2+(-oJ=,故选：C.3. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,yeR,向量a = (x,l,l), = (1,1), 3 = (2,2),且 al.c，b / c f 则卜+|=()A. 22B. 10C. 3D. 4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得x，y的值，得到向量a+b=(2,2),进而求得a + ht得到答案.【详解】由题意，向量 = (x,l,l), b = (l,y,l), c = (2,-4,2),因为J.c，可得c = 2x-4 + 2 = 0,解得X = 1,即 = (ljl),又因为5

13、c，可得;=弓，解得y = -2,即b = (l,-2,l),可得 + b = (l,1,1) + (1,-2,1) = (2,-1,2),所以卜+ b = J4+1 + 4 =3.故选：C.4. (2021.全国高二课时练习)若： = (x,2y-l,-是平面。的一个法向量，且 = (-1,2,1),； =(3,g,-2)与平面都平行，则等于() 2753 ln( 9 531)a-豆LMRB-立一米一句(9 27 B(911、c,C52,52,-4ylD-52,26,4,l【答案】D【分析】出题意可得平面。的一个法向量与b = (T,2,l), ；-2)均垂百.，即可得到结果.【详解】由题意

14、可得a b =-x+22y-l)- = 0“c = 3x + g(2y -1) + / = 0-+4r0,解得3x+y = O9 X 5227V =一529 1 _ 52,26,4j故选：D5. （2021山东烟台高二期中）已知空间向量 = （2,-2,-1）,力二（3,0,1）,则向量在向量上的投影向量是（）A.10 _20 _5 9,9,-9B.10 _20 5T,-T,-3C.【答案】A 【分析】 根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.【详解】 根据题意，同= 6+22 + 1 =3, = 32+0 + l=0 ah=6+0-1=5B在上的投影向量可为WCOSIO _20T 9,故选：A.6. （2021全国高二课时练习）己知届可是空间的一个单位正交基底，若向量P在基底 4,Ac下的坐标为（3,2,1）,则它在基底 + d-Ac下的坐标为（）.【答案】D【分析】根据题意，可设向量=（1,0,0）, =（0,1,0） f C