三大曲线与曲面积分答案.docx

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1、第一套答案2 2痴；3. 0; 42j + 4 + 6Jt二、L A； 2 B； 3. D,三. 1.因为 111 + 3=1, dr +dy = d( + y),则z 、|(T，Q) r = (z +川 5。)-22 L的极坐标方程是ras - y&j)ds = r2(9) + r2()d = /(acos。)? + ( - asin8)d = ad01=/cos8 ad0 = 2a24.设2表示在第一卦限内的部分，D: x2l, x0, y0,则I =4 J xyzdS=4口工(工2 + y2) -/1 + 4(jt2 + y2)dxdy=4 jjddj rcos rsin6 r2 71

2、4r2 rdr,1245-1一 4205 I =虹(1 t + /) +(2 + dsc= M + H -c=虹叁d + y2) + y(2 + )ds + *-2=nf+f)d,+fc5,5154x 2 4、1.补充直线段OA,显然(esiny my)da: + (excos - zn)dj = 0QA故原积分(exsinj my)dx + (exsy - m )dyAMMq t2采用极坐标r2 rdr = 040/4如图7-4所示，被积函数是关于Z的奇函数，积分曲面关于xy面对称,只需计算第I卦限内的积分再乘以2即可.记在第I卦限内的部分为, l在h0y面上的投影区域为2 + y27 41

3、, x0, 了?0,则=21yzda dy=2J 矽 /1 一2? y1dyJ2dtfJ rcostf* rsin* 5/-r rdrx2sin28dr3 /l -r2 d r_2-155.设2 = 21 + 22,其中E1：之=x2 + , 2： z = L 1和22是题中所给立体表面的一部分.它们在y面上的投影区域都是 外,： jt2+ y2l对于21, dS =r2djrdy;对于Z2, dS = ddy辽 2 + y2)dS +( + y2)dSJ (72 + 10(x2 + y2)dxdy2靠= (2 + l)d0r2rdr = y(l +/2)o/四、1.在求解此题的诸多方法中，下

4、面的方法是最快捷的，希望读者细心体会.=| yd,r 萨y + jy(Ny)(ydz xdy)Cc=d( j) + J(rr)d(y)cc(1, 2) f(l, 2)(+(ad(32f(u)du=22 .利用公式P Q, Rk一刃，一月,SJ Pdydc + Qdzd + Rddy h2“dzd),可以很快得出结果.此处 P = R+f Q=y + 2f R = %+f曲面一 n UM)= = =Z 7工十% =1-n+js 7x=T, = 1lx + yi-2ff z + fl, -1, ldxdy(3 y + z)ddy = J (1 - iy + 1 + _y - )ddydxdy =

5、y此处 Da： x - yl 0c0 yO3 .先使用Gauss公式，再引进球坐标系，则F(f)= 0T 3(*2 + ?2 + )d V, ： /2 + y2+WfF(t) = J dj d 3r2.r2smdr=12r4dr0F2(f)124由题意可知，密度函数产=15(1+/),总质量几=Q 15(z2 + y2)2tlS1 jjdz + Qdy(Pcosa + QcosQ)ds=166五、P, Q cost cos/? ds= J Jp2 Q2 - J cos2. 十 二8 .cos8ds P2 + Q1ds LM式中为向量H + Q与8si + cos用的夹角.J I grad ,

6、grad v dzdjr+ JvA*dzdyJ vudxdj (gradu grad)drdy 第三套答案一、1. 2j二、1. D;2. 44 3 ( 6 + )c ; 4. 2.2. D;3. B.三、L令= acose, y = sn(t 则d$= (acx)z2 + (sin)2dt = adtXO2利用Stokes公式+ Qdy+Rdz = g 管一和ddz + (+除如y祭-老)d应z d IP = 3y, Q=nn, R = yz2,平面 z=2 (M + y24)取上何，记D： + J4,则有(3 z)dxdy = -5 dd)= -20/3记Z1为在第I卦限部分.则Zl的方程

7、为Z = l-y,它在Nty面上投影区域为D： Ol, 03l-1r,则dS=3dxdy二町=8 (x +y)2d0rdy = 8 y2 + 2xy)dS(1+ xy)dS .y2 + xy)dSJ=16(jr2 xy)dS = 16/3(x2 xy)ddy=16r3 j dxj (x2 )dy-2r34,补充平面2i： z = 2 (12 + /)&4取上侧，使用Gauss公式=0 +Tzdxdy*1 15 .使用 Gauss 公式，记/2： (-a)2(y*6)2(z - c)2R则I =2 jjj (jpz)dv=2( 4-R3+ 6-K3 + c30= j R3( + 6 + c)请读

8、者思考一下，这样做的依据是什么？、L 设 L： x- cs3r v = siR, 0cWj 则 _/ = 8 J zds s5 J2 /1 - 8- sin67 J (cos ) (sin3i ) 2d= 2473 j2 OTs2fsin2fdf2.从原点到M(94Q的直线方程其参数式方程为L： 二 &丫=平Gtl12=tyzdx + zrdy + zvdz .L(不+ t9 t + t)dt1=3t2dt = 1问题最后转化为求W = E戒在* + + = 1条件下的最大值.容易求得,当&=为7=各，=#寸，W取得最大值，即V 3(%2 + J + J)”?2 + J) /1 + x2 +

9、y2d34-3+ zdxdy)i4abc333 dS = 1 x2 + y2dx1 + 24心 h pQ1(x2 + y2)dSr2 Vl r2rdr- (25 + l)p00tdydz + ydz&r + %d%dy五 1 P= 一？. o工_ 3Q _3P _ x2 _% r y +/ Q_/ +/_方一(/ + 9)2如图7-5所示，取充分小半径做圆，使之含于J内，取L为ABCEFCBGA,设逆时针圆周为九则x = ecose, y = nt (0i2) .$彳吗一呼二0T工叫n产=$吟一耍7 2 + y2 2 y23 006 (fSU 丫二 sint (8S )ofin(cos2r + sin2)d t=2Jq(uxcosa uycos + xsy)dSuxdydz + uydzd + uxdxdy(ux + %y + tizz)dudv第四套答案4万一、1. 41a3 23 jR4;二