导数与零点、不等式等综合运用（解析版）.docx

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1、导数与零点、不等式等综合运用【题组一零点问题】1. (2021 河北邢台高二月考)已知函数尸(可满足V(x)3/(x) = x3,/() = oj(l) = e + l,则函数/的零点个数为()【答案】B【解析】当xwO时,由矿(x) - 3/(1)=工4,可得丁/-3/(力=爪1则立I止再3所以以a = e + C.A J因为/(l) = e+l,所以。=1,故/(x) = V(/ + l)(xwO).因为0) = 0,所以“司=/(/ + 1),则 /(X)=炉(X + 3)/ +3)设 g(x)=(1+3)，+3,则 gx) =(X+4),所以屋可在(f，Y)上单调递减，在(T”)上单调

2、递增，所以所以广(力.0,则%)在S，e)上单调递增，尸(x) = 一1在(收)上也单调递增，因为 F(0)= /(0) l = l0,所以尸(0)尸2),若函数g(x) = /(/3 + D恰有4个零点，则。的取值范围是()A. (3,4)B. (3,+oo)C. (2,3)D. (4,+s)【答案】B【解析】因为/(x) = f(2x-a)(a2)的零点为0,所以由g(x) = /(/(x)+ 1) = 0 ,得/3 + 1=0或即，3) = 7或一1.因为(x) = 2M3x-a)(2),所以“X)在()，g+co上单调递增，在。,小 上单调递减，则/的极大值为0）=0,极小值为/停|

3、= - /27因为。2,所以所以结合/*）的图象可得-3.2272故选：B3. （2021 北京首都师范大学附属中学高二期中）若函数/（x） = lnx-or有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. （）,+? ） B. fo,-1C.（0,e）D.（一【答案】B【解析】解：因为函数/（x） = lnx-or有两个不同的零点，所以方程lnx-ox = 0有两个不相等的实数根，所以2=。有两个不相等的实数根，X/ Inx , 1-lnx令）=,y =，所以当x0,e）时，y0,函数），=电土为增函数，X当x（e,”）时，y-co” +8,0,XXIn X故函数y的图像如图，、故选：B4. (

4、2021 陕西省洛南中学高二月考(理)函数/(x) = -/ + 12x +机有三个零点，则加的取值范围为 .【答案】(16,16)【解析】因为函数因%)=- + 12兀+川,所以 fM = - 3r + 12 = - 3(x + 2)(x - 2),令r(x)0 =-2X2；/(x)12,所以函数fM在(to, - 2)和(2, + 8)上为减函数，在(-2,2)上为增函数，所以当 = -2时，力力取得极小值，且/(-2)=加-16,当=2时，/(用取得极大值，且/=加+16,f/72-160又函数有三个零点，所以0故答案为：(76,16)5. (2021 河北邢台高二月考)已知方程e-x-

5、? = ()有且只有1个实数根，则m=.【答案】1【解析】设/(x) = ex,则r(M = el.令/(=0,得x = 0,则“外在(f ,0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，所以)在冗=0处取得最小值0) = 1.故若方程er-6=0有且只有1个实数根，则2 = 1.故答案为：16. (2021 福建福州三中高二期中)已知函数/(幻=，川，若关于x方程r-2/(x) + 2 = 0R)有两个不同的零点，则实数Z的取值范围为【答案】【解析】令必)=疝。gx) = *1 +1 = (1 + x)ex+i,所以在(-1,抬)上，g(x)0, g(x)单调递增,在上，g(X) 0),则方程/(

6、x)-2(x) + 2 = 0Q w R)为公-2tk+ 2 = 0(t g R),mi k +2 . 2则 2t = = k + 1,2令g(Q = Z+,作出g的图像:K2当02/2后，即OU（）,即所以g（x）在（2,一）上单调递增，所以晨=鼠2）= 1-21n20，同一直角坐标系中画出函数y = H 2-21nx|与丁 =，的大致图象，如图:可得 0/ i有两个不同的零点，则实数/的取值范围为.【答案】（-5,0）【解析】当0W1时，/（力=2丁+3产+团，贝=+6x20,故在大4。上是增函数.要使函数/（“有两个不同的零点，则函数“X）在05与（L田）上各有1个零点，显然相0.故八/

7、 /，解得：-5加0综上所述：实数力的取值范围为（-5,0）.故答案为：（-5,0）.9. （2021 河南高二期中（理）己知函数力=一。（工+3）.（1）当。=1时，求/（x）的最小值;(2)若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)-2； (2) (L+8 .【解析】(1)当。=1 时，/(x)= 6? x3,则/(X)的定义域为()，且/(%)=定一1,当(-co,0)时,r(x)0；/(”在(f,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，/(”的最小值为/(O)= 2.(2)由题意知：“X)定义域为(e，口)，fx) = ex-a；当时，./(=/一。()恒成立，./(“在(收)上

8、单调递增，不符合题意；当。0时，令，/(x) = 0,解得：x = na,一.当xw(-co,ln)时，/r(x)0, /(无)单调递增;即当。0时，/(X)有极小值也是最小值为/(ln) =-。(2+lna).又当 X-8 时，f 当 xfm 时，要使x)有两个零点，只需ln)0,解得：；综上所述：若外力有两个零点，则。的取值范围为(,+810. (2021 广东普宁高二期中)设函数/(x) = /cosx, /(x)为/*)导函数.(1)求/J)的单调区间;(jr4 37r(2)令(x) = /(x) + r(x) -X ,讨论当XE 时，函数力(X)的零点个数.12 )L 4 4 _37

9、r7E【答案】(1) /(X)的单调递增区间为2- -,2 + - (k eZ), /(x)的单调递减区间为_44_7t 5冗2 + -,2 + (kcZ)； (2)只有一个零点.一【解析】(1)由已知,W fx) = ex (cos x - sin x).(兀、兀、当 x w 2%4 + 1,2%) +亍(kwZ)时，有 sinxcosx,得/(X)0,则/*)单调递增.37r7E所以/的单调递增区间为-72Hl2TF/的单调递减区间为外+于兀+ 7 2).(2)证明：由(1)有(x) = ev(cosx-sinx)，令 g(x) = /(x)，(jr 3tT、从而g(x) = -2e*si

10、nx.当x(了,：-寸，/(犬)(),故/x) = /(x) + g(x) g-x) + g(x)(-l) = g(x) g-x)，(IT TF A7T 3 乃 1因此，X G 时hf(x) (),(4 2)12 4 J他在区间找单调递减,在区间6年单调递增.7C 37r A .、 7T、八二 x T 时，h(x) N h 彳=0.14 4 Jy2)所以，当，了时，函数(x)只有一个零点.14 4 )11. (2021 江苏启东高二期中)已知函数/(x) = l-3x + clnx + d , /z(2) = -|.(1)求/(X)的单调区间；(2)若d2,求证：只有1个零点.(1A( 【答案】(1)单调增区间是0,-和(1,y)；单调减区间是-J ； (2)证明见解析.【解析】(1)依题意，函数八#的定义域为(。，+8),由 /(x) = x2 - 3x + clnx + d ,得