2023导数真题解法荟萃.docx

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1、2023年全国卷导数压轴解法荟萃与原理分析利用指数构造“三次”函数，2023新高考2卷压轴题分析1本节讨论指数加多项式结构及其应用，首先我们需要注意的是此节有两种构造方式，我们将，多项式的次数限制在三次以下，那么就会有下面的形式：f()=exkx+b/()=ex+ax2+bx-c9g(x)=(x-k-)ex-ax-k)2或者,、,1I、zx3b-k2-kbx+c)z(x)=x-k1)+。(IX32其中第一种函数/(x)=夕+Ax+。是讨论的基础，我们需要讨论该函数的一些主要性质，例如取点等.至于后续g(x),z(x)如何产生，需从导函数角度入手考虑，其中：g(x)=(x-k)(ex-2a)9h

2、(x)=(x-k)ex-a(x+b)9即它们的导函数均是可以因式分解的优良结构，这就意味着g(x),%(x)分别可能最多有两个和三个极值点，性质非常丰富！例.(2023新高考2卷)已知函数/*)=(戈-1)，-a?+。.(1)讨论/(X)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)只有一个零点1 pQ)-2a0。一20.2 22解析：由函数的解析式可得：1(X)=MeA-2)，当O时，若x(-,0),则/(x)Oj(x)单调递增；当0.0J(x)单调递增，若五(1n(勿),0),则/(x)0,(x)单调递增；当o=g时，/(x)0,(x)在R上单调递增；当g时，若x(-,0),则尸(

3、x)0J(x)单调递增，若r(0,1n(勿)，则/)vOJ(x)单调递减，若x(1n(24),+),则/(x)0J(x)单调递增.1e1若选择条件.由于b2a1,(O)=/?-10.而/=(-1-杉eE-b+匕21n(2)-1-1n(2)+2a=21n(2)-1n(2)=41n(2)2-1n(24),12由于1J,2e2non(2a)2-1n(2)0,22结合函数的单调性可知函数在区间(O,+。)上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件由于0gn2(0)=6-12-14=40而函数在区间(0,+8)上单调递增，故函数在区间(0,y)上有一个零点.当VO时，由于/Nx+1(易证，见第一章

4、)，此时:/(x)=(x-1)t-cue-fe(x-1)(j+1)-ar2+=(I-Q)尤？+(61),当工时，(1-tz)r+(-1)O,Kx0=E+,(0,+a?)上有一个零点./(in(2)=in(2)-1-0in(2a)+b2in(20)一1一in(2)2+2=2In(2)一in(20)二1n(2a)2-1n(2o),由于OvJ,02av1,故Hn(Zz)2-In(2切0且1,函数f(x)=t(xO).ax(1)当=2时,求/(x)的单调区间；(2)若曲线)，=/(力与直线y=1有且仅有两个交点，求。的取值范围.解析：(2)f(=-=O,g(x)单调递增；在(e,+oo)上g(x)O,

5、g(x)单调递减；g(%x=g(e)=jXg(I)=O,当为趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y=/()与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(X)与直线=竟有两个交点的充分必要条件是()等j这即是。g()O;将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式:X2z.X令XX=-X令：X=-27nH/X;r-;i-4xr;啊蚪/.-,(x-x1;幽数-et-,(x1);I-Xx-11nx1nx1-x1nxx-1X.高次不等式放缩X2.3sinXX,x0；6X2.4Cosx1.23.分式不等式放缩例.设函数/(x)=1n(-x),已知X=O是函数.v=4(x)的极值点(1

6、)求X+/*(X)(2)设函数g*)=；证明：g(x)v1f()I解析：(1)由/(x)=1n(-x)=1(X)=,y=(x)=y,=1n(-x)+X-C1X-C1又X=O是函数y=4(x)的极值点，所以V(O)=Ina=O,解得=1；/、x+1n(1-x)zz当困(M)时,要证g(“)=漏VI,-。阿一)。,.x1n(1-x)冗111(1_1),化简得x+(1-x)In(I_力0；/、x+1n(1-x),、同理，当x(-,0)时，要证g)=7；r1,.x0,X1n(I-X).x1n(1-x)x1n(1-:),化简得x+(1-X)In(I-x)0令MX)=X+(1-X)In(I-力，再令f=1

7、-,则Z(,1)U(1+)，X=t,令g(r)=11+/In/,=-1+Inz+1=InZ,当(0,1)时，g(x)g(1)=O;当，(1,y)时，g(%)0,g(x)单增，假设g(1)能取到，则g(1)=0,故g()g=。；综上所述，g)=x+1n(1-x)XIn(IX)1在(-),0)140,1)恒成立极值点偏移与切割线放缩，2023新高考1卷压轴题分析双变量导数中的剪刀模型起源于2023年天津卷，在2023年新高考1卷中名满天下！该模型的实质是凸凹函数切割线放缩(牛顿切线法)，值得注意的是，该方法已经出现在人教版新教材选择性必修二82页阅读材料中，未来完全可能再度出现在高考试题中！本节我

8、们就通过这两道高考题展示其基本原理与解题方法.一.基本原理1 .函数凸凹性：若函数f(x)在区间/上有定义，若/)O,则称/(x)为区间/上的凸函数.反之，称/3)为区间/上的凹函数.2 .切线不等式：/(x)在/上为凸函数，V/w/，有/(x)/*o)(x-)+/(/)反之，若/(x)为区间/上的凹函数，则VXo/,有f(x)f()(X-Xo)+“)证明：取定,令F(X)=/O)-f(x0)(x-/)一/(X0)，则/(X)=f(x)-f(%)，再次求导可得户(x)=r)O故(X)在区间X%上递减，在区间上递增，故Q(X)存在最小值，即入山。)=/()=0,即/(X)f(Xo)(X70)+/

9、6)证毕.注：切线不等式是剪刀模型的理论依据.3 .剪刀模型已知函数/(x)为定义域上的凸函数，且图象与y=6交于A3两点，其横坐标为王,不，这样如下图所示，我们可以利用凸函数的切线与.v=机的交点将对超的范围予以估计，这便是切线放缩的基本原理.如图，在函数图象先减后增的情形下，两条切线和两条割线即可估计出零点的一个上下界,而切割线的方程均为一次函数，这样我们就可以得到一个显式解(精确解)的估计，下面我们通过例子予以分析.二.应用分析例1(2023新课标1卷22题)已知函数/(x)=x(1-1nx)(1)讨论/(x)的单调性；(2)设力为两个不相等的正数，且1n-1n8=-b,证明：2-+-e

10、.ab解析：注意到函数/(x)=M1-Inx)不含参数，那就求导分析凸凹性/(x)=-1nx,再求/(x)=-10,Fa)在其定义域上分别是凹函数与凸函数.Xrd.,t,bna-anba-bna1In/?1,n另一方面，hka-anb=a-b=+=+,即ababaabb1(1-In-)=1(1-In1)/(-)=/4),若令M=J，则原命题等价于，已知aabbababf(x1)=f(x2)证明：2x1+x2e%-.证明玉+e.由于f(E)=/(/)，不妨假设这是函数假设/3)的图象与直线y=机的两个交点，考虑到了(%)的图象性质可知m(0,1).故而，再,当即为方程/(x)-根=O的两根，结合

11、函数的凸凹性，我们使用切线放缩来证明.观察的结构及/(e)=0可得/(x)在(e,0)点处切线为,v=-x+e.由前文背景理论常用性质(2)可知：/(x)-x+e,Dx(0,+oo).如图所示，假设/()与y=/，交于A,3两点，其横坐标为01x2.y=相与切线y=-x+e交于。点，其横坐标月.由图1可知：,二一+=迎=0一?,显然，再做函数图象的割线，丁=工，则显然：由图象可知Jy=m0Xxmt0x2x2=e-m9故内+/e证毕.例2.(2023合肥模考)已知函数/(x)=W(e为自然对数的底数).e(1)求函数/(x)的零点小，以及曲线y=(x)在x=.r。处的切线方程；设方程J(X)=有两个实数根A；,%，求证：|西-x2X1=1以及=X2=-fny=m2ey=如上图可知|冗1一/11i-21=1-w-(-1)=2-w(1+一).证毕.2e2e点评：如图，我们用两条切线与y=7的交点横坐标来估计出y=(x)-m的两零点差值的范围.同时要注意，倘若我们选择=/()在彳=1处的切线方程为v=一2(彳一1)来放缩零e点的话会得不到想要的结果，因为这条切线并没有将V=f(x)包在其下方.三.