微专题八.docx

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1、微专题八基本不等式的向量形式思维扩展波利亚有句名言：“类比是伟大的引路人”.这句话言简意赅地阐明了类比在数学发现中的地位.我们知道，/+从22仇小力ER)以及区警27(,bRi)是两个应用广泛的基木不等式，一种有趣的想法是：这两个不等式可以类比到向量中去吗？由(a0)2=-不难得到(r-b12ab,当且仅当a=b时等号成立.但将审273,R+)简单地类比为空2标就不行了，由于该不等式左边为向量，右边为数量，故其无意义，因此我们需要调整角度，看能否获得有用的结果.注意到咛225及,bR+),而不等式(哼目22。力左右两边都是数量，因而可以比较大小.事实上，由(+b)2=(b)2-4ab=abF+

2、4ab2406可得(色要)22。心，当且仅当时等号成立.这样，我们就得到如下两个结论：定理1设。，力是两个向量，则层+护力20万，当且仅当=b时等号成立.定理2设。，力是两个向量，则0阴22q6,当且仅当=b时等号成立.例1若平面向量,b满足2-ZW3,则ab的最小值是.答案8解析方法一由定理1得322a-b2=(2ab)2=(-2a)2-b2-4ab22(-20b)-4b=-8。6，9所以。为2、当且仅当=一2烈时等号成立，OQ故0的最小值是一?O方法二由定理2得o，V1J2f，|2。一杆92(-份J-=J4*Q则。力2、当且仅当b=-2时等号成立.O9故。力的最小值是一*说明本题可推广至一

3、般形式：若平面向量”,b满足：|%+例0),则当0时，ah的最大值为当22=(z2+=米+协,当且仅当痴2=%2,即炉=为2时等号成立.所以12)?=abj2+%?)=好拥,解得=b2f故网的最小值为今例3已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量C满足(a-cSc)=0,求IC1的最大值.解由(ac)(5-c)=0得c2=c(+5)，由定理1及已知条件得c2=c(b)2k2+3+b)2=T(C2+02+玲=2(c2+2)解得ICFW2,故IC1的最大值是i拓展1己知”,是平面内夹角为。的两个单位向量，若向量C满足(ac)S-c)=0,则IC1的最大值是一C7cos2拓展2已知a,b是平

4、面内两个互相垂直的向量，且a=m,b=n,若向量C满足(ac)。-C)=0,则IC1的最大值是勺加2+2解由定理2得OACAB+C2=1i4C2jI2J4AC22/2+-ABBCAC2=AC2+-2AC-=4,IAQ2AC故当且仅当赢=正，且I启I=啦时，松+一1二取得最小值4.ABBC例5设,b满足设+b+2=3,求标一4b+力?的取值范围.解由定理1得a6wg生，解得abW1.又由定理1得(一)b1十Zr所以一3b1.因为冰一ab+b2=(3-ab)-ab=3-2ab,所以12-29.以上五道例题从不同角度为我们初步展示了定理1、定理2的魅力，它们微小平凡，对破解难题却极其有效.不过，追求它们更广泛的应用前景固然让人心动，但更有价值的则是获得它们的思维过程.类比是打开发现之门的金钥匙，但如何用好这把钥匙却值得我们长久的思考.