正余弦定理及其应用举例 教学设计.docx

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1、4.6正、余弦定理及其应用举例考纲要求1 .掌握正弦定理.、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.!jMMMr一1.正弦定理点余弦定理定理正弦定理余弦定理内容=2R.（斤为?1比外接圆半径）K=；变形形式a=,b=,c=;SinA=,sinB=，sinC=58:b;C=；Ga+b+c=sin力+sin8+sinCasinAcosA=；cosB1；cosC=.解决的问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边.已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个强.己知三边，求各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其

2、他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，在水平线的角叫俯角（如图）.国国3,方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为。（如图）.4 .方向角相对于某一方向的水平角（如图）.（2）东北方向：指北偏东45或东偏北45.（3）其他方向角类似.5 .坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角（如图，角。为坡角）.图坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，了为坡比）.S3星看自Jichuziue1. （2012广东高考）在C中，若N4=60,N5=45,BC=3啦,则46（）.A.43B,23C.3DE2.在445C中，cos2-=（a,b,。分别为角4

3、,B,C的对边），则48C的形状为22c）.B.直角三角形D.等腰直角三角形A.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形3. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条宜线上,继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75。，则这艘船的速度是（）.A.5海里/时B,.53海里/时C.10海里/时D.I（AA海里/时)4.如图，为了测量隧道44的长度，给定下列四组数据，无法求出44长度的是（A.a、a,bC.a,b,5.中，若a=3,cosC=-,S&a8c=4而,贝IJb=3探究哭啜X4if、F4Mff1F1一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1一1】

4、（2012辽宁高考）在/比中，角4B,。的对边分别为a,b,c.角4B,C成等差数列.求COS8的值；（2）边a,b,。成等比数列，求SinJsin。的值.【例12式中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,tanC=-j+s1,sin（cosJcosBA）=cosC.求4C;（2）若&4=3+S求a,c.方法提炼应熟练掌握正,、余弦定理及其变形.解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理.同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况.如已知&b,4则1为锐角力为钝角或直角图形4一关系式aVZ?SinAa=Z?SinA方SinAabaW

5、b解的个数无解一解两解一解一解无解请做演练巩固提升1二、三角形形状的判定【例21比满足Sin8=cosAsinC,则4比的形状是().A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰宜角三角形D.等腰三角形或直角三角形【例22】在/1比中，a,b,。分别为内角AfB,C的对边，且2asin4=(2b+c)sin8+(2c+Z?)SinC.(1)求4的大小；(2)若Sin8+sinC=It试判断4/80的形状.方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一.即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形

6、得出三边的关系.结论一般为特殊的三角形“如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等.另外，在变形过程中要注意4,B,C的范围对三角函数值的影响.提醒：1.在A8C中有如下结论SinAsinB=ab.2 .当40时，角力为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当/+，一)=。时，角/为直角，三角形为直角三角形；3 .当力2+023=2,1+2CoS(E+0=0,求边8。上的高.错解：由1+2CoS(8+。=0,知cos/=12：.A=3根据正弦定理一=一得:sinAsinBC加inAsinB=.=21或刎.44以下解答过.程略.错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，

7、产生了增根.正解：V在4宛中，cos(8+0=-cos4又.T+2cos(8+O=0,1-2cosA=Qt：.A=.3在/阿中，根据正弦定理一=一,得SinB=包B=也、sinAsinBa2：ab,：,B=一.45,C=Ti(J+=.12也.*.sinC=Sin(8+/)=SinBcosJcos厌in力=工2边上的高为加inEX甲二号答题指导：1 .考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.2 .解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条佳.-W网”1 .在4I8C中，角B,C所对的

8、边分别为a,b,c.若acosA=bsinB,则sin/cos1+cos=().A.B.-C.-1D.1222. 在448。中，(&+6+c)Q+6-c)=3a6,且acosB=Kgs儿则的形状为3. (2012福建高考)在?!鸵中，已知N为。=60,NABC=45,BC=#,则4O=4. (2012陕西高考)在447中，角4B,。所对边的长分别为a,b,c.若a=2,B=-t6c=2y3t则b=.5. (2012山东高考)在A48C中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c.已知sin8(tan/+tan6)=tan4tanC.(1)求证：a,b,C成等比数列；(2)若a=1,c=2,求A4

9、7的面积S6. 某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口。北偏西30且与该港口相距20海里的4处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以y海里/时的航行速度匀速行驶，经过1小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值.参考答案基础梳理自测知识梳理1 .-=-=-Zr+3-2历cosAC2+，-2cacosBa2Z2-2acossinAsinBsinCabcA2J-c2C2inA2inB2,sinC一一

10、一SinAIsinB：sinC2R2R2R2bcC2+a2Z2a22-c22ca2ab2 .上方下方即地一=_如一，解得力1=23.sin60osin450基础自测1. B解析：由正弦定理得一纪=纥,sinAsinB2. B解析：cos22=让f22c,今八F_a+cZcos11,2C.a.cosB=-,=tan150,.O=y3OO,AO力0=(2+5).PAO-BO=AB=IQ,00(23)-3=10,00=5,5，船的速度为f=10海里/时.24. D解析：利用余弦定理，可由ab,/或,a,b求出力6；利用正弦定理，可由a,尸求出四，当只知。，E,y时，无法计算力笈5. 23解析：由co

11、sC=-t得sinC=马但，33,a-=-sinC=-t3y2b=4yi.：.b=2r3.223考点探究突破【例1一1】解：（1）由已知28=1+C,/+夕+C=I80,解得3=60,所以CoSB12(2)方法一：由已知/=ac,及CoSB=-,2根据正弦定理得sin2=sinJsinCf所以sinJsinC=I-Cos*=.4方法二：由己知Z=ac,及COSB=12根据余弦定理得COSB=d+，,解得a=c,所以8=4=C=60,故SinJsinC2ac34,【例1一2解：(1)因为tanC=Sin4+sinB,cos4+cosBsinCsin力+sinBcosCcos4+cosB所以Sin6cosJsin6cosB=cos6sin/+cos6sinB,BPsinCcosAcos6sinJ=cos6sin6sin6cosB,得Sin(C4)=Sin(BO.所以C-A=B-Ci或C-A=B-C)(不成立),即2U+6,得。=工，3所以8+4=.3又因为sin（84=CoS6-,2则8一4=三或8一/=%