直线和平面垂直的判定与性质一 教学设计.docx

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1、直线和平面垂直的判定与性质（一）一、素质教育目标（一）知识教学点1 .直线和平面垂直的定义及相关概念.2 .直线和平面垂直的判定定理.3 .线线平行的性质定理（即例题1）.（二）能力训练点1 .要善于应用平移手法将分散的条件集中到某一个图形中进行研究，特别是辅助线的添加.2 .讲直线和平面垂直时，应注意引导学生把直线和平面关系转化为直线和直线的关系.如直线和平面垂直，只须这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线，向学生渗透转化思想的应用.（三）德育渗透点引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决.转化

2、思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法.二、教学重点、难点、疑点及解决方法1 .教学重点（1）掌握直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，那么这条直线就和这个平面垂直.（2）掌握直线和平面垂直的判定定理：若mu,ncQ,mn=B,11m,I1n,则（3）掌握线线平行的性质定理：abfa贝IJb_1Q.2 .教学难点：在于线、面垂直定义的理解和判定定理的证明；同时还要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过B点的两条直线说明“任意”直线的问题.3 .教学疑点：判定定理的条件中，“相交”是关键，“两条”也是一个重要条件

3、，对于初学立体几何的学生来讲，是不好理解的，教师应该用实例说明这两个条件缺一不可.三、课时安排本课题共安排2课时，本节课为第一课时.四、学生活动设计（略）五、教学步骤（一）温故知新，引入课题1 .空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）2 .经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）3 .空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.）4 .怎样判定直线和平面平行？师：我们已经知道，判定直线和平面平行的问题可以转化为考察直线和直线平行的关系.今天我们转入学习直线

4、和平面相交的一种特殊情形一一直线和平面垂直，这个问题同样可以从两条直线垂直的关系入手.（板书课题：1.9直线和平面垂直）（二）猜想推测，激发兴趣1 .教师演示课本上的实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.2 .指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足

5、.3 .说明直线和平面垂直的画法及表示.师：要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的.让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直.从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）（三）层层推进，证明定理指导学生写出已知条件和结论，并画出图形如右：己知Imu,nu。，mn=B,11m,11n.求证：1_1。师：你如何证明直线和平面垂直呢？生：根据直线和平面垂直的概念，只需证

6、明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可.师：设g是平面Q内的任意一条直线，现在只要证明1，Q就可以了.对于平面内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明1,g都经过点B的情况.（生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示.）1 .1、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质.在直线1上点B的两侧分别取点A,A,使AB=AB.2 .直线m、n和线段AA是什么关系？（mn垂直平分AA）3 .从结论看，直线g与线段AA应当有什么关系？（g垂直平分AA）4 .怎样证明直线g垂直平分线段AA?（只

7、要g上一点E,有EA=EA）5 .过E作直线分别与m、n交于C、D,连结AC、AC、AD、,D,则有:AC=A,C、D=A,D,由此能证明EA=EA吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤.）参看右图并作如下说明：1 图1-672 .当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的.3 .如果直线1、g有一条或两条不经过点B,那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线1与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而1_1g.4 .要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公

8、共点，是无关紧要的.这样我们有了直线和平面垂直的判定定理.（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.5 .强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解.（1）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直.（2）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF,那么三角板的直角边BC也垂直于EF,但它不一定和讲台桌面垂直.（四）初步运用，提高能力例1如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个

9、平面.分析：首先写出已知条件和结论，并画图形.已知：ab,a（如图1-68）.图1-68求证：ba,要证明：ba,根据判定定理，只要证明在平面Q内有两条相交直线m、n与b垂直即可.证明：在平面Q内作两条相交直线m、n,设mn=A.bImIaImIb1n1nbnmuabN&namen,说明：1 .本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理.这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明.2 .课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写.练习（课后练习2）求证：如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直

10、于另两条直线确定的平面.已知：OAOB,0B10C,0C10A.求证：OA_1平面BOC,OB_1平面AOC,Oe_1平面AOB.证明：（以证明OAJ_平面BOC为例，目的是强化书写格式）OA1OBOBiOCOB平面BoCnOAi平面BOCOCU平面BoCOBOC=O（五）归纳小结，强化思想师：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线1垂直于平面,那么1就垂直于内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问题解决的一般思路.六、作业作为一般要求，完成习题四1、2、3、4.提高要求，完

11、成以下两个补充练习：1.如图1-70,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H,那么，在这个空间图形中必有A、AHEFH所在平面B、AD_1ZEFH所在平面C、HFj_ZAEF所在平面D、HD_1ZAEF所在平面图1-70答案：选择(A)VAHEH,AHFH,.AHJ_平面EFH.讲评作业时说明：应用折叠不变性设计的本题，目的是用于培养学生的空间想象能力和“转化”思想方法；折叠问题要注意应用折叠前、后平面图和立体图中，各个元素间大小和位置关系不变的量.2.如图1-71,MN是异面直线a、b的公垂线，平面Q平行于a和b,M图1-71求证：MNj平面.证明：过相交直线a和MN作平面,设aB=a,Va/7.aa.MN是a、b的公垂线，MN_1a,于是MN_1a.同样过相交直线b和MN作平面,设=b,则可得MN_1b.Ta、b是内两条相交直线，MN_1Q.