统计公式课件随机事件及其概率.docx

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1、随机事件及其概率(1)排歹组合公式P；：=/J从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。(tn-n)C：=/、;从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。w.(tn-n)加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可(2)加法由n种方法来完成，则这件事可由mn种方法来完成。和乘法原乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事)：mxn理某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mn种方法来完成。重复排列和非重复排列(有序)(3)一些对立事件(至少有一个)常见排列可题如果一个试验在相同条件下可以重复进行

2、，而每次试验的可能结果不止一(4)随机个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随试验和随机试验。机事件试验的可能结果称为随机事件。(5)基本在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具事件、样本有如下性质：空间和事每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；件彳1可事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用。来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间，用C表示。一个事件就是由C中的部分点(基本事件。)组成的集合。通常用大写字母48,G表示事件,它们是Q的子集。C为必然事件，0为不可能事件。不可能事件(

3、0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，(2发生必有事件B发生)：Ac=B如果同时有AuB,BA1则称事件2与事件6等价，或称2等于B:A=Bo48中至少有一个发生的事件：AJB,或者Z+民属于力而不属于8的部分所构成的事件，称为2与8的差，记为2-8,的关系与也可表示为2-28或者AB1它表示工发生而8不发生的事件。48同时发生：力口8,或者B=0,则表示A与B不可能同时AA汪算发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A称为事件A

4、的逆事件，或称A的对立事件，记为N。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)CAu(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)=U_德摩根率：II=AB,AB=AUB(7)概率的公理化定义设Q为样本空间，A为事件，对每一个事件4都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：1o0P(A)1,2oP()=13。对于两两互不相容的事件4,4,有PfoA,/)V=Ir=1常称为可列(完全)可加性。则称P(A)为事件A的概率。(8)古典概型1=i,2w),2oP(1)U(2)UU(m)=P(OI)+尸(%)+尸(吗,

5、)二加二A所包含的基本事件数n基本事件总数几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,P(A)=J然其中1为几何度量(长度、面积、体积j1(!j(IO)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)=O时,P(A+B)=P(A)+P(B)(I1)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BUA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=C时，P(X)=I-P(B)(12)条件概率定义设A、B是两个事件,且P(A)O,则称与券为事件A发生条件下，事件B发生的条

6、件概率，记为P(8/A)=婴黑P(A)条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(B)=1=P(BA)=1-P(BA)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(BZA)更一般地，对事件A1,A2,.An,若P(AIA2.An-1)0,则有P(AiA2AQ=P(A1)P(A21A)P(A31A1A2)P(AAiA2An-I)O(14)独立性两个事件的独立性设事件A3满足P(AB)=P(A)P(B),则称事件a、3是相互独立的。若事件A、B相互独立，且尸(A),则有W)二还二叽尸P(A)P(A)若事件A、B相互独立，则可得到N与B、A与方、N与否也都相互独立。必然事件Q和

7、不可能事件0与任何事件都相互独立。与任I可事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。(15)全概公式设事件砌&,反满足1。8,史,8两两互不相容，P(B)0(i=1,2,)，AUO82,则有P(A)=P(B)P(AB)+P(B2)P(AB2)+P(Bn)P(ABn)O(16)贝叶斯公式设事件B,Bi,，以及A满足1oB&,，&两两互不相容，尸)o,i=1,2,，AuJjB2o工,P(A)

8、0则-P(Bi)P(A/Bj)2nI(Dj/A),I1,N,11。NP(Bj)P(A/B)/=I此公式即为贝叶斯公式。P(Bi),(=1,2),通常叫福瞬。P(BiIA),(，=1,2，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了因果”的概率规律，并作出了由果朔因的推断。(17)伯努利概型我们作了次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或不发生； 次试验是重复进行的，即4发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用P表示每次试验A发生的概率，则.发生的概率为1一=,用H*)表示重伯努利试验中

9、A出现以K)次的概率，P“(k)=CqZ2=0i,2,9。第二章随机变量及其分布(1)离散设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=12)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为型随机变P(X=Xk)=PkIk1f2,.,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的量的分布形式给出：XIX1,X2,Xt律P(X=Xk)O显然分布律应满足下列条件：OOXP人=1(I)PA0,%=1,2,，(2)I(2)连续型随机变量的分布密度设网乃是随机变量X的分布函数，若存在非负函数人幻，对任意实数有尸(X)=f(x)dxJ-Oot则称X为连续型随机变量。称为X的概率密度函数或密度函数，简

10、称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1。*)0fxdx=2。J-OO4O(3)离散P(X=x)P(xXx+dx)fxdx与连续型积分元/(X)办在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=M)=P”在离随机变量散型随机变量理论中所起的作用相类似。的关系(4)分布函数设X为随机变量，X是任意实数，则函数F(x)=P(Xx)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(aXb)=FS)-F(a)可以得到X落入区间(凡b的概率。分布函数RX)表示随机变量落入区间(-8,X内的概率。分布函数具有如下性质:1oOF(x)1,oox+oo;2oF(X)是单调不减的函数，即可0-KO4oF(x+0)=

11、F(X),即F(X)是右连续的；5oP(X=X)=F(x)-F(X-0)对于离散型随机变量，F(X)=Xpk;xkxX对于连续型随机变量，F(x)=f(x)dx-OO(5)八大分布O-I分布P(X=1)=p,P(X=O)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则X可能取值为0,12。P(X=k)=PKk)=C：pkqi,其中q=1-p,0p0,4=0,1,2，k则称随机变量X服从参数为2的泊松分布，记为X()或者P(4).泊松分布为二项分布的极限分布(np=,n超几何分布”,CtyZ=OJ2,/P(X=Ic)=-J1_比/，CJ/=min(,)

12、随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布记为H(nfN,M)0可分布P(X=k)=TTPM=1,2,3,，其中p0,q=1-po随机变量X月艮从参数为p的几何分布，记为G(p)o均匀分布设随机变量X的值只落在a,b内，其密度因数“X)在a,b上为常数丁1,即b-a=axb1其他.则称随机变量X在a,b上服从均匀分布,记为X(a,b)0分布函数为O,xbo当axX24b时，X落在区间(XM2)内的概率为P(X1X,则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为，1-eXO小)=10I5X0o记住积分公式：+00xnexdx=n.正态分布设随机变量X的密度函数为,(X-4)2f(x)=-=e,-x+,其中、为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为*N(d)。具有如下性质：o/3)的图形是关于X=对称的；2当X=时，/()=力1为最大值；2y2草UWb)I嘤策分布函数为R2gJr。0参数=、b=1时的正态分布称为标准正态分布，记为XN(O，1)1函数记为(x)=-r=e27,-+,分布函数为(x)=.fe2力。y21中是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。