反三角函数与简单三角方程.docx

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1、1、反三角函数：概念：把正弦函数y=sinx，xeTCT1时的反函数,成为反正弦函数,记作y=arcsinx.22y=sinx（xR），不存在反函数.含义：arcsinx表示一个角;角2,2；sina=x.反余弦、反正切函数同理，性质如下衰.名称函数式定义域值域奇偶性单调性反正弦函数y=arcsinxi增万5_奇函数增函数反余弦函数y=arccosx-1,1arccos(-x)=-arccosx非奇非偶减函数反正切函数y=arctanxR增I2I=2IkKJ奇函数增函数反余切函数y=arccotxR减（0,4）rccot(-x)=-arccotx非奇非偶减函数其中：TCTrTrTr1）符号ar

2、csine可以理解为-上的一个角（弧度），也可以理解为区间*上的一2222个实数；同样符号arccosx可以理解为0,上的一个角（弧度），也可以理解为区间0*笈上的一个实数；(2y=arcsinx等价于Siny=乂yy个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；3恒等式sin(arcSir1Y)=x,x-,1arcsin(sinx)=a,22兀,y=arccosx等价于COSy=乂X0,这两,cos(arccosz)=x-,1,arccos（cos）=x、x0,的运用的条件；JtTt4恒等式arcsinx+arccosx=,arctanx+arccotx=-的应用。222、最简单的三角方程方程方程

3、的解集sinx=H=1xIx=2Z)+arcsina,kZH1xx=k+(-)karcsin,火Zcosx=aIa1=IxIx=2k+arccosaykZH1xIx=2karccosa,kZtanx=6xX=ATr+arctan4,ZZCGtx=axx=k+arccota,kZ其中：(1)含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；(2解最简单的三角方程是解简单的三角方程的根底，要在理解三角方程的根底上，熟练地写出最简单的三角方程的解；3要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；如：假设Sina=Sin，那么Sin

4、a=Ar+(-1)”/?；假设COSa=CoSS那么a=2kr0；假设tana=tan，那么a=k+；假设Cota=CotP，那么a=k+；4会用数形结合的思想和函数思想进展含有参数的三角方程的解的情况和讨论。【例题精讲】例1.函数y=sinx,xf-,四的反函数为()_22_A.y=arcsinx,x-1,1B.y=-arcsinx,x-11Cy=乃+arcsinx,x-1,1D.y=-arcsinx,x-1,1分析与解：22.X-,-1,需把角X转化至主值区间。_22_.-y-xy,又Sino-X)=Sinx=y由反正弦函数定义，得-x=arcsiny.X=-Qrcsiny9又由已知得一1

5、y1所求反函数为y=乃一arcsinx,x-h1jrjr例4.函数y=arccos(cosx),x，的图象为(22分析与解：解析式可化简为y=arccos(cosx)X,X(0,Wy=_?八-fX，02显然其图象应为(4)例5.函数y=arccos(sinx),x(-p,)的值域为C.RDE省33)|_63)分析与解：欲求函数值域，需先求=sinx,券)的值域。26.八RR6/1,/x，.,.smx1,即arccoswarccos1SP0yarccosx成立的x的取值困是(r2分析与解：该题研究不等关系，故需利用函数的单调性进展转化，又因为求X的取值围，故需把X从反三角函数式中别离出来,为此只

6、需对arcsinx，arccosx同时取某一三角函数即可*不妨选用正弦函数。式_兀若x0,贝(JarcsinX,0,而arccosx,2J_2止匕时arcsinxarccos为不成立，故T0若x0,贝Uarcsin/(,，arccosx0,而y=SinX在区间0,方上为增函数又arcsinxarccosx/.sin(arcsinx)sin(arccosx)即H,解不等式，得次|在2亚XOX1-X1故选(B)2冗乃例7.若0,则arcsinc0s(5+)+arccossin(+)=().TCCTr乃CC乃CA.-B.C.2aD.2a2222分析与解：这是三角函数的反三角运算，其方法是把角化到相应

7、的反三角函数的值域。冗arcsincos(-+a)=arcsin(-sina)=-arcsin(sina)=-aarccossin(+a)=arccos(-sina)=-arccos(sina).7tK、T1=-arccoscos(y-a)=-)=+,一.原式=(-)+(+)=，故选(A)22例8.求值：(1)sin2arcsin(2)tanarccos-(233773分析：arcsin(一一)表示,上的角，若设a=arcsin(-),则易得Sina52253原题即是求sin2的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类问题的关键是能认清三角式的含义与运算次序，利用换元思想转化为三角求值。

8、解：(1)设arcsin(-)=,贝IJSina=-Mr.4,.a，,/.cosa=1-sina=122j5.sin2=2sinacosa=2(-)()=-3I24BJsin2arcsin(-)=-(2)设arccos-=a,则CoSa=-33,.,)sina=1-cos2a=1-g=1-cosa=2Sina22也即於arccos4也26232例9.知函数/(x)=arccos(x2-x)1求函数的定义域、值域和单调区间；2解不等式：/(x)(2x1)解：1由7Y1得匕*x4xx2-x=(x-i)24e441/(X)的定义域为1：大：、y值域为0,4-arcco*又三叵小时g(x)=/一工单调

9、递减，y=arccoc单调递减，从而/(x)递增.(x)的单调递增区间是1手，同理/()的单调递减区间是g,*2/(x)(2x1)gParccosT)arccs0+*一(2吗2,1即arccos(c-x)arccosgs-)-1x2-x1.,-14x2-1解不等式组得一1x4-4简单的三角方程例1写出以下三角方程的解集(1)sin(x-)=；(2)2cos3x+1=0；(3)cotVx=382解：(1)把.慨看成一个角，x-g=k兀+(-1)kJoo4.解集xx=k兀+(1)k.J,kZ)4o(2)cos3x=3x=2k兀：兀解集xx=(kr+arctg3)2，kZ例2.求方程tan(3x+?

10、)=6在0,21上的解集.解：应有3x+：=k兀3x=k冗+看，X=等+(kEz)(此解称为通解).5Jo.n,八c,5k一冗13兀25冗37k=0,1,2,3,4,5时，X分别等于玄，,-TT-,三不，36363636等，缪.(这些解，称为特)解，所以在0,2冗上的解集是SbJo1325和3749在61直,36,36936f36f36说明如何求在指定区间上的解集？(1)先求出通解，(2)让k取适当的整数，一一求出在指定区间上的特解，(3)写指定区间上的解例3.解方程2sin?x+Gcos%+1=0解：方程化为2cos?%一JJCoSX-3=O说明可化为关于某一三角函数的二次方程，然后按二次方

11、程解例4.解方程3sinx-2cosx=02sin2x-3sinxcosx-2cos2x=02解：除以COSX（二COSX=0不是方程的解）得tgx=m2解集为xx=k兀+arctgg,kZ）除以cos以化为2tg2x-3tgx-2=0.tgx=!或tgx=2.解集为xx=k兀-虹（；或区=卜兀arctg2,kZJ.说明关于sinx,cosx的齐次方程的解法：方程两边都除cost1x（n=1,2,3,）（.,cosx=0不是方程的解）,转化为关于tgx的方程来解,例5解方程：（I）gsin2x-cos2x=1（2）5sin3x-12cos3x=6.5思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程2x-

12、30o=k180o+(-1)k30.x=k90+(-1)k15+15(kZ)所以解集是xx=k90+(-1)k15+15o，kZ5121除以13得：sm3x-cos3x=-,51919设cos=,Sin=,tg8=丁，取=6723,由此得，an3xcos6723-cos3xsin67o23sn(3x-67o23y)=,3x-67o23=k180o+(-1)k30o,于是x=k60+（-1）乜0+2238，（kZ）.原方程的解集为卜氏=卜60（-1月00+2238，kZ）ab说明将方程asinx+bcosx=c(abc0)化为,SinX+/a2+b2a2+b2COSX=当T咻原方程的解集是空集，fe畤设3=7Z=看3于是可得Sm(X+)=解集是xx-k兀+=9(8为辅助角).a(业&,其蜂Z,这是禾佣辅助角，把原方程归为最简单的三角方程例6解方程2si2+3cosx=0育军原方程可yf匕为2(1-COS2x)+3CoSX=O，即2以52工一385了-2=0解这个关于CoSX的二次方程，得C1Cosx=2cos%=2由COSX=2，得解集为。；由COSX=，得解集为xx=2Zr士