2023年三角恒等变换知识点归纳.docx

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1、第三章三角恒等变换3. 1两角和与差的正弦、余弦和正切公式(Dcos(a-7)=cosacos/+sinsin；(2)cos(a+P)=cosacos夕一SinaSin:sin(=SinaCOS/-Cc)SaSin；(4)sin(a+/7)=sinacos+cosasin；(tana-tan=tan(-y)(1+tanatan/?)；,0、tana-tanZ?(5)tan(-7)=J=1+tantan(6)tan(+/?)=tana+tan/71-tanatantan+tan=ta(+0(1antan0).25二倍角的正弦、余弦和正切公式:sin2a=2sinacos.n1sin2a=sin2

2、+cos22sincos=(sinacosa)2cosIa=cos2a-sin2a=2cos2a-=-2sin2a1C2a,1-cosa=2sm2.21-cos2aSma=2V=升嘉公式1+cos=2cos22板口八32cos2+1=降幕公式CoSa=,226、万能公式:oa2tan1tan22sin=;COSa=-1tan21tan222tan2a=2tana1-tan26Z=（后两个不用判断符号，更加好用）28、合一变形=把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角，一次方”的y=Asin(+o)+8形式。Asina+Bcosa=Va2+B2sin(+),其中tan9=.A29、三角变

3、换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：(1)角的变换:在三角化简，求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半,互补,互余的关系,运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异,使问题获解，对角的变形如：2是的二倍;4是2a的二倍;是里的二倍;里是里的二倍；22415o=45-30=60o-45o=；问：2.sin=；cos=;1212=(+6)-；+a=-JTJT2=(+7)+(-)=(-+)-(a)；等等44(2)函数名称变换:三角变形中,经常需要变函数名称为同名函

4、数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦，变异名为同名。(3)常数代换:在三角函数运算,求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：1=sin2a+cos2a=tanacota=sin900=tan45”(4)累的变换:降幕是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降鼎解决的方法。常用降幕公式有:；o降塞并非绝对，有时需要升塞,如对无理式J1+cos常用升事化为有理式，常用升暴公式有：;(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应纯熟掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。,1+tan1-tana如:=；=;1-tana1+tanatana+tan?=；1

5、-tanatan/7=；tana-tan/7=；1+tanatan=；2tana=；1-tan2a=;tan200+tan40+J1tan20tan400=;sina+CoSa=;sin+Z?COSa=；(其中tan=；)1+COSa=：1-COSa=；(6)三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、耗”四方面入手;基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次，无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。如:sin50(1+/tan10)=;tana-COta=。基础练习一选择题1已知SU。如停且/为锐角，则+/的值是（2.设一则尸的范围是（A.（一肛0）B.(-4,乃)

6、C.D、3.cos215+cos215+cos75ocos15=(B、55c7a+4|,则c-Z55.isin2x-sin2y=d-Td4则Sin(X+y)sin(x-y)的值是(CCmmA.ItiB.IYiC.D.22536.在ABC中，已知CoSA二占,sin8=则cosC的值是()a15n56C16Tx56八16A.B.C.或D.6565656565437 .己知cos(+7)=g,cos(-/J)=,，则tantan?的值等于()A.B.C.7D.7778 .使函数/(x)=Sin(2x+e)+6cos(2x+o)为奇函数，且在区间o,?上为减函数的0的一个值为（）c5万-2）A.B.

7、CD33339 .已知。是第三象限角，且满足sine+cos。=。，那么SinZ9的值等于（9232忘2c23333I7410 .已知x,0,cosx=-,则tan2x等于(2J5dtb4311 .若cos。=W,sinO=2,则26的终边在(55A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限12.已知仁（肛2%），则Ji。）+）等于（）A二A. sin2CaB. cos2CaD.-cos2JT2JT13函数/(x)=1+4COSX-4si2x,有(A.最大值0,最小值-8B.最大值5,最小值-4C.最大值5,最小值-3D.最大值2立一1,最小值一314.函数y=2sinx（sin尤+8SX

8、）的最大值为（）A.2C. 21D. 2+115.函数y=2+sinX+cosX的最大值是（aT+1c12216.函数片Sin户COS%的最小正周期为（7C.D.2万。sin10,+sin50z17.的值是(sin35sin55A.-2B.2c418.若cos2a+cos2=m,则COS(+夕)cos(-的值为(A.m+B.-tn-C.-mD.m-19 .ABC中，若sin4=2cos3sinC,则AABe一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形20 .函数y=卜皿工+685%）（85%一65出，的最小正周期为（）A.4B.2C.D.2二填空题1 .已知Sina+

9、sin=,cosa+cos=g,则cos(-Q)=2 .函数/(x)=COSX-gcos2x(xwR)的最大值等于3 .已知cos(+6)=0,则sin(+27)Sina=4 .若SinaCOS=*,则COSaSin的取值范围是5 .函数/(x)=cos2x-2y3sinxcosx的最小正周期是一356 .在ABC中，cosA=-,sin3=,则SinC=513357 .在三角形ABC中，若SinB=,cosA=,则CoSC二5138 .若SinX-CoSX=,则sir?X-CoS3X=29 .已知SinX-CoSX=-,那么COS4x=3A10 .在AABC中，已知CoSA=,则sin=52

10、11.函数/（X）=cos2x-2百sinxeosx的最小正周期是12.己知tan(+,=2,则Sina=13 .sin3cos=.12123514 .在AABC中，sinA=-,cosB=,那么COSC的值为.51315.函数/(x)=sin2X+sinxcosx(X为锐角)的值域是16 .若,/?(,J,且Sina+sin=6(coSa-CoS/),则sin3c+sin3/=.17 .化简J1sin80=18.在A4BC中，sin2A=sin23,则AABC的形状是19.设60,2乃)，若311。0,且852。0,则。的范围是20.若y=+sinx的值域是-1|,则此函数的表达式是三解答题

11、1.已知02vaV亥,cos44,sin3+/?)=亮，求sin(a+/?)的值.2.已知111（0一/）=；,面1/?二一；,且。,夕（0,乃）,求2。一万的值.3.已知/(0)=I-Sine+cos。I-Sin。-CoSg1I-Sine-CoSeI-Sine+cos。（1）化简/（。）；（2）求使/（0）=4的最小正角夕4 .某工人要从一块圆心角为半径为20cv的扇形木板中割出一块一边在半径上的内3接矩形桌面，求割出的矩形桌面的最大面积.5 .已知Ian任+=1（1）求tana的值；（2）求包也咨过的值.4）21+cos2a武口(乃A31747兀.axSin2x+2sin-xIy1彳古6

12、.已知CoS+x=-,x，求的值.14J51241-tanx7 .求证：2(1+cosx)-si2=4cos42.28 .求证：1一tan?IX-6=sin281+tan2(4J9 .已知Sina+sin=,cosa+cos?=求ta(+0的值.43.10 .在ABC,11,求证：sin2A+sin2+sin2C=2(1+cos力COSBcosC)强化练习-选择题1. c0s45ocos15+sin450sin15o=()A.错误!未定义书签。B.错误!未定义书签。C.错误！D.错误！答案B解析Cos45ocos15sin45osini5二8(45。-15。)=8$30。一错误!未定义书签.2

13、. CoS错误!等于()A.错误!-cosB.错误!cosCf(1,2)cosG+错误!未定义书签。sinD.f(b2)COSa一错误!未定义书签。Sina答案C解析COS错误!=cos错误!未定义书签。CoSa+sin错误!sin二错误!未定义书签。CoS+错误!since.3. COS165等于()A.错误!未定义书签。示.错误！C1错误！D.-错误！答案JC解析COS165o=cos(180o-15)=-cos(45o-3O0)=(cos45ocos300+sin450sin30o)=-错误!.4. 满足cOsacos夕=错误!一sinasin4的一组a的值是()A.二错误E/=错误!未定义书签。，B错误!未定义书签。，夕=错误!未定义书签。C.a一错误!未定义书签。错误!未定义书签。D.a=错误!，夕错误！答案BI解析I由条件COSaCoS6=错误!-sinceSin/?得cOSaCoS戒+sinasiM=即COS(a