18194　41　平面向量的坐标表示42　平面向量线性运算的坐标表示43　向量平行的坐标表示.docx

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1、4平面向量的坐标4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(重点)2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(重点)3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(重点)自主预习探新知1.平面向量的坐标表示如图2-4.1所示，在平面直角坐标系，中，分别取与轴，y轴方向相同的两个单位向量i,乍为基底,对于平面上的向量由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x, y),使得。=红土立.我们把有序实数对称为向量。的(直角)坐标，记作=(x, y).图241思考1：相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终

2、点的坐标一定相同吗？提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.2.平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示(1)平面向量的坐标运算已知=(x, y), b=g, ”)和实数人 那么：(i )a+b = (xf y1) + (x2, y2) = (x1+x2, yi+yz)；(ii )a-b = (x, y)-(x2f y2) = (x -x2，y 1 )；(iii)-(xi， y)=(x, 2y 1)已知 A(x, y), B(x2, y2)f 0(0,0),则A3=08-OA = (x2, y2)(x, y)=(X2XI，y2y)，即一个向量的坐

3、标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.(2)向量平行的坐标表示设 =(x, y), b=g )，若 ab,贝J xiy2x2y1 =0若yO且y2W0,则上式可变形为昔.文字语言描述向量平行的坐标表示(i)定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例.(ii)定理 若两个向量相对应的坐标成比例,则它们平行.思考2：如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提不：能.将写成24的形式，当O时，与。同向，当2),则。bOy2=X2y.()(4)向量=(l,2)与力=(3, 6)共线且同向.()答案(1) (2) (3) (4)2 .若A(2, -1), B(-

4、l,3),则成的坐标是()A. (1,2)B. (-1, -2)C. (-3,4)D. (3, -4)C3 .若向量=(2,3),力=(1,2),则一力的坐标为()A. (1,5)B. (1,1)C. (3,1)D. (3,5)C4 .已知向量 q = (2, -3), 6 = (3, ),且 方，贝J 2=9答案合作探究攻重难平面向量的坐标表示已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，A边在x轴上,C在第一象限，。为AC的中点，分别求向量赢，AC, BC,丽的坐标.【导学号：64012120解如图，正三角形A3C的边长为2,则顶点A(0,(), 3(2,(), C(2cos 60,2s

5、in 600),C(1, 3), D=(2,0), AC=(1, 3),BC=(l-2, 3-0) = (-l, 3).BD=-2,|规律方法(1)向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标.(2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算.跟踪训练1 .若已知 A(l,2), B(0, -1), C(3,江求赢;_ If f(2)若已知54月8。=(m，2),试求, m.解(1)VA(1,2), B(0, -1),AB=(-1, -3).,-3) (3, Z+1) /72 = -2 攵=

6、12-I类型2向量平行的坐标表示例已知=(l,2), 6 = (-3,2),当火为何值时，3+力与。-36平行?平行时它们是同向还是反向？思路探究由力的坐标f求攵+A, a-35坐标f由向量共线的条件列方程组-求的值一判断方向解法一：k+b=A(l,2) + (-3,2) = (A-3,2k+2),。-3 = (1,2)3( 3,2)= (10, -4),当必+与。一3。平行时，存在唯一实数2,使 ka+b=(a-3b).由(攵一3,2攵+2)=10, -4).-3=10z,2k+2=-4.解得 k=-.当左=一；时，ka+b 与 a3b 平行，这时 ka+b= -a+b= 3),:ka+b

7、与 a3b 反向.法二：由法一知布+力= (A-3,2攵+2), -3=(10, -4), :ka+b 与 a3b平行，J (A3) X (-4) - 10(2k+2)=0,解得 = 一 ：此时 &+6=(-g-3, -2j= -(a-3),；当k=g时，ka+b与a3b平行，并且反向.规律方法向量平行的坐标表达式与向量共线定理是对一个问题从数和形两个角度的描述，是有机结合的一个整体，学习时注意对照体会，选择应用.跟踪训练2 .已知 a=(l,0), =(2,1).(1)当攵为何值时，版一人与a+2。共线？(2)若A3=2a+3b, BC=a+mb KA, B,。三点共线，求加的值.【导学号：

8、64012121解(1)一力=攵(1,0)(2,1)=(女一2, -1), +26 = (l,0)+2(2,1) = (5,2).:kab 与 a+2b 共线，2(-2)-(-l)5=0,即2攵-4+5=0,得k=一；.(2)VA, B, C三点共线，.AB=BCf R, Fp 2a+3b=(a+mb)92=,3=w,3解得m=.向量坐标的综合应用探究问题1 .平面向量的坐标与哪些因素有关？提示：平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关，只有始点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等.2 .向量的坐标与点的坐标有何区别？提示：符号(x, y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一

9、个点,又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(x, y)或者向量=(x, y),注意前者没有等号，后者有等号.3 .向量共线的条件如何应用？提示：遇到与共线有关的问题时，我们要根据需要，合理地选择向量共线的条件来进行问题的转化，如果遇上了坐标表示，一般选用xy2-2y=0,而不选用Xl=n, )“=2与乎 = ?(因为后者有b0,需要讨论).X2 )2已知点 A(2,3),仅5,4), C(7,10).若亦=赢+Ab(AR),码上扫一扫看精彩微课试求2为何值时,点P在一、三象限角平分线上;(2)点P在第三象限内.思路探究先求力，AB,就坐标后利用条件表示尸点坐标，再根据问题可求.解设点尸的坐

10、标为(x, y),则Q=(x, y)-(2,3)=(x-2, y-3),矗=(5,4) - (2,3)=(3,1),AC=(7,10)-(2,3)=(5,7).+AC=(3,l)+(5,7) = (3 + 5, l+7).VP=AB+AC, -2 = 3+5, fx=5+5, 1)- 3 = 1 + 7尤 )，=4+7 尢(1)若P在第一、三象限角平分线上，则5+52=4+7九* A=25+50,(2)若P在第三象限内，则z1,八L4+70,/. =万1 +筋”，试求当，为何值时，P在X轴上、P在y轴上、P在第三象限？【导学号：64012122解由5=总 +凝= (l+3r,2+3r),则 P(l+3r,2+3z).2若尸在x轴上，则2 + 3f=0,所以=一1；若尸在y轴上，则l+3r=0,所以，=一上；fl+3r0,2若在第三象限，则 所以一不2+3r B、C三点共线,AC=MB=2(2,4)=(2, 42). (x+1, y+3)=(29 44),fx=2A 1,V=4-3,.*. C(2z 1,423).把点C(221,47一3)代入x+y5=0得3(2-l) + (4-3)-5=0,解得2=刁：.C(2,3)