2 数的整除性.docx

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1、2数的整除性X阅读与思考设a、b是整数，b0,如果一个整数q,使得a=bq,那么称a能被b整除，或称b整除n,记作ba以，又称b为a的约数，而以称为b的倍数，解与整数的整除相关问题常用到以下知识：1.数的整除性常见特征对于具有某个条件的整数都能被整数b整除，而不具备这个条件的整数就不能被整数b整除，这种条件就叫做能被整数b整除的特征.若整数a的个位数是偶数，则2|a；若整数a的个位数是0或5,则5|a；若整数a的各位数字之和是3（或9）的倍数,则31a（或91a）：若整数a的末二位数是4（或25）的倍数，则41a（或25a）;若整数a的末三位数是8（或125）的倍数,则81a（或1251a）；

2、若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，贝1a.2.整除的常用性质设a、b、c、d都是整数，有若bIa,cb,则cIa；若cIa,cIb,则c（ab）;若bIa,cb,则，ca；若ba,ca,且b与C互质，则beIa.述例题与求解例1在12,3，2000这2000个自然数中，有个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除.（第13届“五羊杯”竞赛题）解题思路自然数n能同时被2和3整除,则n能被6整除,从中剔除能被5整除的数,即为所求.例2盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成7个小球后放同盒

3、中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是下面的（）.（“祖冲之杯”邀请赛试题）（A）1990个（B）1991个（C）1992个（D）1993个解题思路先从简单情形实验，探寻盒中球的总数变化的规律，这是解本例的突破口.例3已知整数13出M56能被198整除,求a、b的值.（2002年江苏省初一数学竞赛题）解题思路198=2X9X11,整数13MM56能被9、11整除，运用整除的相关特性建立a、b的等式，求出a、b的值.例4已知两个三位数abc的和旖能的和诙+荷被37整除,证明:六位数abcdef也能被37整除.(“缙云杯”邀请赛试题)解题思路因己知条件的数是三位数，而拓

4、两六位数，故设法把赤两.位数的形式表示，以沟通已知与未知的联系.例5求所有满足下列条件的四位数：能被I11整除，且除得的商等于该四位数的各位数字之和.(2000年上海市竞赛题)解题思路设这个四位数QbCd,而111|。灰大，且其商为a+b+c+d,从而可得关于a、b、c、d的等式，又因a、b、f、d是一个四位数的各位数字，从中可分析求出其值.能力训练A级1 .某班学生不到50人，在一次测验中，有1的学生得优，1的学生得良，！的学生732得及格，则有人不及格.2 .从1到IOOoO这1万个自然数中，有个数被5或能被7整除。(上海市竞赛题)3 .一个五位数3。的8能被11与9整除，这个五位数是.4

5、 .在小于1997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是.(A)532(B)665(0133(D)7985 .能整除任意三个连续整数之和的最大整数是.(A)I(B)2(C)3(D)6(第十五届江苏省竞赛题)6 .如果a,b、C是三个任意整数，那么与生叱,处,士()223(A)都不是整数(B)至少有两个整数(C)至少有一个整数(D)都是整数(2001年T1杯全国竞赛题)7 .一个五位数，若前三个数字表示的三位数与后两个数字表示的两位数的和能被11整除，判断这个五位数能否被U整除，并说明理由.8 .将一个三位数的数字重新排列所得的最大三位数减去最小的三位数正好等于原数,求这个三位数.(江

6、苏省竞赛题)9.1,2,3,4,5,6每个使用一次组成一个六位数字时必勿，使得三位数abc,bcd,cde,def能依次被4,5,3,11整除，求这个六位数.(上海市竞赛题)10.173口是个四位数字，数学老师说：“我在这个口先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”.问：数学老师先后填人的3个数字的和是多少？(“华罗庚金杯”邀请赛试题)B级1 .若一个正整数以被2,3,9这八个自然数除，所得的余数都为1,则n的最小值为,a的一般表达式为.(第十三届“希望杯”邀请赛试题)2 .一个101位的自然数.A=邻二遗把二史塑能被7整除，则口盖住的数字是.50个50个(北京市竞赛题

7、)3 .一个六位Jd989)，能被33整除,这样的六位数中最大是.4 .有以下两个数串1,3,5,7-1991,1993,1995,1997,19991,4,7,10-1987,1990,1993,1996,1999同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个.(A)333(B)334(C)335(D)3365. 一个六位数五两H991b能被12整除，这样的六位数共有().(A)4(B)6(C)8(D)126.若1059,1417,2312分别被自然数挖除时，所得的余数都是m,则n-m的值为()(A)15(B)I(C)164(D)1747 .某中学原有教室若干个，每个教室有相等数量的课桌，总课桌

8、数为539个.今年学校新盖教学楼增加教室9个，全校课桌数增至1080个，此时每个教室的课桌数仍然相等，且每个教室的课桌数都比以前增多，问现有教室多少个？(太原市竞赛题)8 .某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字和等于后两位数字的和，则称这张购物券为“幸运券”,试证明：这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除.(“祖冲之杯”邀请赛试题)9 .一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个六位数.(“五羊杯”竞赛题)10 .一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1999,求这个四位数，并说明理由.(1999年重庆市竞赛题)