2023中学自主招生模拟试卷含答案及答题卡.docx

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1、2023中学自主招生模拟试卷含答案及答题卡题号得分二三总分一、选择题（共7题，每题5分，共35分）1 .二次函数y=2+力+c的图像如右图所示，则化简二次根式V（+c）2+V（*-c）2的结果是（）1 .a+bB.-a-bC.a-b+2cD.-a+b-2c2 .有4支队伍进行4项比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分。每队的4项比赛得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且其中一队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（）A.7B.8C.9D.103 .已知a是方程*3+3x-1=0的一个实数根，则直线y=x+1-n不经过（）A.第一象限B.第二

2、象限C.第三象限D.第四象限4 .有一种长方体集装箱，其内空长为5米，高4.5米，宽3.4米，用这样的集装箱运长为5米，横截面的外圆直径为0.8米的圆柱形钢管，最多能运（）根。A.20根B.21根C.24根D.25根5 .将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（）3535A.29B.28C.56D.566 .用x表示不大于X的最大整数，则方程*2-2x-3=0的解的个数是()A.1B.2C.3D.4C=Jt+2,K=x+127 .对每个X,y是=刀刀2三个值中的最小值，则当X变化时，函数y的最大值是（）48A.4B.6C.8D.7每题5分，共35分）-

3、7(-c)2=(-h)fc-)8 .已知4,，且aO,KJa9 .G是aABC的重心，过G的直线交AB于M,交AC于N,BMCN则奇+万7=o10 .已知a、b、C都是实数，且满足abc,a+b+c=O.那么，。的取值范围是。11 .在ABC中，AB=AC,且过ABC某一顶点的直线可将ABC分成两个等腰三角形，则各内角的度数为。12 .对于一切不小于2的自然数n,关于X的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的两个根记iDBC作Q”(n2),M111(2-2)(b2-2)+(。3-2)(83-2)+(口2007一2)(力2007-2)=。y=x2+(2a+1)x+2a+(a为常数)13 .

4、设抛物线J4的图象与X轴只有一个交点，则ai8+323a-6=。14 .如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.三、解答题(本题有4小题，共60分)15 .(10分)试求实数k(+D,使得方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0的两根都是正整数。16 .(12分)如图1,矩形铁片ABCD的长为2%宽为。；为了要让铁片能穿过直89径为10的圆孔,需对铁片进行处理(规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔)；(1)如图2,M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,若将矩形

5、铁片的四个角去掉，只余下四边形MNPQ则此时铁片的形状是,给出证明,并通过计算说明此时铁片都能穿过圆孔；(2)如图3,过矩形铁片ABCD的中心作一条直线分别交边BC、AD于点E、F(不与端点重合)，沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片;当BE=DF=50时,判断直角梯形铁片EBAF能否穿过圆孔,并说明理由；为了能使直角梯形铁片EBAF顺利穿过圆孔,请直接写出线段BE的长度的取值范围17 .(14分)喜欢钻研的小亮对75。角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75。的正弦值呢？经研究，他发现：sin750=sin(

6、450+300)=sin450cos300+cos450sin30T猜想：sin(+)=scos+csasi(。和0为锐角)。将图(a)等积变形为图1(b)可用于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2(a)和图2(b)o如图,锐角为的直角三角形斜边为m,锐角为0的直角三角形斜边为n,请你借助图2(a)和图2(b)18 .(14分)已知菱形ABCD的边长为1.4ADC=60。，等边4AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.(1)特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边AEF的外心；（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.

7、记等边AEF的外心为点P.猜想验证：如图2.猜想AAEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；拓展运用：如图3,当AAEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于11点M,交边DC的延长线于点N,试判断与I.而是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.自主招生模拟答卷（数学卷）班级姓名学号一、选择题（每小题5分，共35分）题号123答案二、填空题（每小题6分，共35分）8.9.10.11.12.13.14.三、解答题（第15题10分，第16题12分，第17、18每题14分，共50分）15.参考答案一、选择题1.C2.B3.D4.B5.A6.C7.B二、填空题8.2；9.1108)10

8、.11.（45。、45。、90。）（36。、36。、（36。、72。、72）579614.石一三、解答题180540540Ioo312.4016.13.T_15. K=2,3,516. 解：(1)是菱形，如图，过点M作MGJ_NP于点G,M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点,.AMNBPNCPQDMQ,.-.MN=NP=PQ=QM,四边形MNPQ是菱形,能穿过圆孔当，MG=景=部票(2)如图，过点A作AH_1EF于点H,过点E作EKJ_AD于点K孔,故沿着与AB垂直的方向无法穿过圆过点A作EF的平行线RS,故只需计算直线RS与EF之间的距离即可,19BE=AK=-a,EK=AB=a

9、,AF=AD-DF=-a,:.KF=AF-=&EF=旧+*)2=.ZAHF=4EKF=900,4AFH=4EFK,AHAF98989：.=,AH=aa.AHF*EKF,EKEF891。，.该直角梯形铁片不能穿过圆孔；八”39-3屈-39+3阚BC0BEa或aBE2a646417.图2(a)图2(b)如图2(a),原来内部的正方形变成了一个平行四边形，m,n为相邻两边，其夹角为+,得它的面积是mnsin(+)(其中m、n分别是相邻两个直角三角形斜边的长度).如图2(b),原来的两个小正方形变成了两个矩形，其面积之和是msinncos+mcosnsinB.与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部

10、分的面积相等，所以有mnsin()=msinncosmcosnsin,化简得sin(a)=sinacossinacos。18(1)证明：如图1,连接OE、OF,四边形ABCD是菱形，.ACBD,BD平分乙ADaAD=DC=BC,ZADO=-ZADC=30,.ZCOD=ZCOB=ZAOD=902又.小、F分别为DC、CB中点，:.OE=-CDyOF-BCyAO=-ADi:.OE=OF=OA222,点O即为AAEF的外心；猜想：外心P一定落在直线DB上.理由如下：如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI_1CD于I,PJ_1AD于J,UPIE=NPJD=90。，vzADC=60o,.zIPJ=360o-zPIE-zPJD-zJDI=120o,点P是等边AEF的外心,.ZEPA=1200,PE=PA,.ZIPJ=ZEPA,.ZIPE=ZJPA,PIEPJA,.-.PI=PJ,.点P在NADC的平分线上，即点P落在直线DB上;-1-1=2（2）DMDN