6 有理数的计算.docx

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1、6有理数的计算Y阅读与思考在小学我们已经学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算.数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速度.有理数的计算常用的技巧与方法有：1 .利用运算律；2 .以符代数；3 .裂项相消4 .分解相约；5 .巧用公式等.例题与求解例1已

2、知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，X的绝对值等于3,则X3（1+m+n+ab）x2+（m+n）x2001+（-ab）20（）2的值等于.（2002年湖北省黄冈市竞赛题）解题思路利用互为相反数、互为倒数的两个有理数的特征计算.例2把足够大的一张厚度为0.Imm的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过12廊，至少要对折（）.（A）6次（B）7次（C）8次（D）9次（2002年江苏省竞赛题）解题思路探索对折的规律，运用估算求解.例3计算：（1） 1H1F.H；1 +21+2+31+2+3+.1OO（“祖冲之杯”邀请赛试题）（2） 7+72+73+74+.+7,998;（江苏省泰州市奥校竞赛题）

3、（3） 19492-19502+19512-19522+.+19972-19982+19992.（北京市竞赛题）解题思路对于（1）,若先计算每个分母值，则掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形入手；对于（2）,由于相邻的后一项与前一项的比都是7,考虑用字母表示和式；（3）式使人联想到平方差公式.例4设三个互不相等的有理数，既可表示为1,a+b,a的形式，又可表示为0、4b的形式，求999+o的值.a（“希望杯”邀请赛试题）解题思路由于三个互不相等的有理数有两种表示形式，因此，应考虑对应分情况讨论.例5有人编了一个程序：从1开始，交替地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法，将上

4、次运算结果加2或加3；每次乘法，将上次运算结果乘2或乘3,例如，30可以这样得到：1-t148-11030（1）证明：可以得到22；（2）证明：可以得到200+297-2.（全国初中数学竞赛题）解题思路要证明可以得到相应的数，只要依据程序编出相应的程序即可.溥能力训练A级1 .初一“数学晚会”上，有十个同学藏在10张盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10张盾牌如下所示：(-3O)30一52520.1(-1)200019991-81-1-213(TV4(-2)819-9951-11则盾牌后面的同学中，有女同学人，男同学人.2 .有一种“二十四点”的游戏，

5、其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，例如对1,2,3,4,可作运算：（1+2+3）X4=24（注意上述运算与4X（1+2+3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3,4,-6,10运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24,运算式如下：（1）-，一一（2000年杭州市重点中学加试试题）11113.计算：1 +3x5577x91997x1999(2)(-0.25)4(-8)3-2+(-2)4(-6)(-)=.4.将1997减去它的;，再减去余下的,再减去余下的，再减去余下的卜，依此类推，直主最后减去余下的康,最后的

6、答数是.(“祖冲之杯”邀请赛试题)beac5.如果对于任意非零有理数“S定义运算如下:如果有理数aM满足关系式V6V0Vc那么代数式的值().(A)必为正数(B)必为负数(C)可正可负(D)可能为O(第十六届江苏省竞赛题)7一擦-豢-髅-11这四个数由小到大的排列顺序是().(A)_1997_97_1998_98199898199999(B)199811997V981999J1998、9997(C)97O98199798991998、19981999(D)981998-9799、1999、98199719988.若与(一力互为相反数则竺端芸”=().(1997年重庆市竞赛题)(A)O(B)1(

7、C)-1(D)19979 .如果(+6)200=-1,(力严2=,则。绅+炉顿的值是().()2(B)1(C)O(D)-1(第十三届“希望杯”邀请赛试题)10 .若叫、(“是互不相等的整数.且=9,则+e+d等于().(A)0(B)4(C)8(D)值无法确定11 .把11.3.7.61，2.9.4.6分别填在图中”.个。内.再在每个口中填上和它相连的三个。中的数的平均数再把三个口中的平均数填在中.找出一种填法,使中的数尽可能小,并求这个数.(.华罗庚金杯少年数学邀请赛)12 .已知明、,都不等于零，且得+斋+。+篇的最大值为小最小值为，求99800?和20022oo的大小吗？为了解决这个问题,

8、我们先写出它的一般形式即比较与(+1)”的大小(是自然数)然后,我们从分析=1，=2,=3.中发现规律经归纳、猜想得出结论.(1)通过计算比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写、y”号)一_212_32；3_43；45_54；5$_65(2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出-和的大小关系是;(3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小2OO120022OO22o,.(2002年福建省龙岩市中考题)6 .如果cV0,那么下面的不等式幺V0,cV0,TV0,(“0.Cca36(B)a=b(C)ac+d,贝J().(第十一届“希望杯”邀请赛试题)(A)11+6+11c+d(B)tz24-62,c2+c/2(C)363c3+J3(D)4+,c,410 .有1998个互不相等的有理数，每1997个的和都是分母为3998的既约真分数，则这1998个有理数的和为().(学习报公开赛试题)11 .设n为自然数，%=4+2+之+上比较与2的大小.12 .如图，在六边形的顶点处分别标上数01,2,3,4,5,6,能否使任意三个相邻顶点处的Yr三数之和大于9(2)大于10?若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由.V(第十五届江苏省竞赛题)3