专题36 几何最值之将军饮马问题热点专题（含答案解析）.docx

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1、专题36几何最值之将军饮马问题【热点专题】专题36几何最值之将军饮马问题知识导航题型一：两定一动模型雅型三：两定两访模型I最箧将军饮马问题.i.题型二：一定两动极型题型四西定卢-定长方法技巧“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现.【抽象模型】如图，在直线上找一点P使得以+PB最小？【模型解析】作点4关于宜线的对称点4，连接%，则办=%，所以以+PB=2+PB当/V、P、B三点共线的时候，AV+P8=4E,此时为最小值（两点之间线段最

2、短）I题型精讲题型一：两定一动模型模型作法结论AIR当两定点4、8在直线/异侧时，在直线/上找一点P,使必+PB最小.一B连接A8交直线/于点P,点尸即为所求作的点.PA-VPB的最小值为ABB.AI当两定点A、4在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得以+P8最小.BJV1i:pI/Bt作点B关于直线/的对称点连接A8交直线/于点P,点P即为所求作的点.P+PB的最小值为AB.ABI当两定点A、B在直线/同侧时，在直线/上找一点p,使得归A-M最大.XXPI连接AB并延长交直线/于点P,点P即为所求作的点.PA-PB的最大值为AB.AI1IPA-PB的最大值为A8IB当两定点A、B在直线/异

3、侧时，在直线/上找一点p,使得倒一Ps1最大.PIB作点8关于直线/的对称点8,连接AU并延长交直线/于点P,点P即为所求作的点.AB1当两定点A、8在直线/同侧时，在直线/上找一点P,使得*M最小连接A,作48的垂直平分线交直线/于点P,点P即为所求作的点.PA-PB的最小值为。例11 .如图，点C的坐标为(3,y),当/ABC的周长最短时，求)，的值.【例2】2 .如图，正方形ABCO中，AB=I,M是。C上的一点，且OM=3,N是AC上的一动点，求|。MMM的最小值与最大值.【例3】3 .如图I(注：与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点三点41,0),8(5,0),C(0,4)

4、.（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点尸坐标（请在图I中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEB厂是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）题型二：一定两动模型模型作法结论AH点P在NAoB内部，在03边上找点OA边上找点C,使得APS周长最小.分别作点尸关于0A.OB的对称点P、P”,连接PP,交。4、OB于点、C、D,点C、。即为所求.PC。周长的最小值为PPd点、P在NAOB内部，在08边上找点。，OA边上找点C,使得尸。+CO最小.作点P关于OB

5、的对称点尸，过尸作P1C1OA交08于。，点C、点。即为所求.PD+CD的最小值为FC【例4】4 .如图，点P是NAO8内任意一点，ZAOB=30o,0P=8,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，KJPMN周长的最小值为.【例5】5 .如图，点P是NAOB内任意一点，且NAoB=40。，点M和点N分别是射线。4和射线08上的动点，当APMN周长取最小值时，则NMPN的度数为（）BA.140B.IOO0C.50oD.40o【例6】6 .如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EH1DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关

6、系，并证明你的结论；(2)过点H作MNCD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点，求APDC周长的最小值.【例7】7 .如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),C(0,4),点B在X轴上，AC=BC,过点B作BD_1X轴交抛物线于点D,点M,N分别是线段CO,BC上的动点，KCM=BN,连接MN,AM,AN.(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)当CMN是直角三角形时，求点M的坐标；(3)试求出AM+AN的最小值.题型三：两定两动模型模型作法结论AOA点P、。在/A08内部,在OB边上找点。，OA边上找点

7、C,使得四边形PQQC周长最小.O0分别作点P、。关于OA、。B的对称点P、Q,连接PQ,分别交0A、。8于点C、。，点C、。即为所求.PC+CD+。的最小值为PQ,所以四边形PQDC周长的最小值为PQ+PQ【例8】8 .如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=7,E为C。的中点，若P、。为BC边上的两个动点，且尸Q=2,若想使得四边形APQE的周长最小，则步的长度应为9 .如图，己知直线4，2，4、，2之间的距离为8,点P到直线乙的距离为6,点。到直线4的距离为4,P=430,在直线/上有一动点A,直线右上有一动点B,满足AB1.I2,且勿+A8+8Q最小，此时+8Q=题型四：两定点一定长模

8、型作法结论ABdI如图，在直线/上找“、N两点（M在左），使得AM+MN+N8最小，且MN=d.:/:/1将A向右平移d个单位到作H关于/的对称点A，连接4方与直线/交于点N,将点N向左平移d个单位即为M,点M,N即为所求.MN+NB的最小值为+dA/.6A如图，/2,、12间距离为d,在/1、/2分别找M、N两点，使得MNjJ1,且AM+MN+N8最小.A-AT/、将A向下平移d个单位到A,连接A,B交直线/2于点N,过点N作MNJj1,连接AM.点M、N即为所求.AM+MN+NB的最小值为+d.【例1010 .在平面直角坐标系中，矩形048C如图所示，点A在X轴正半轴上，点C在），轴正半轴

9、上，且。4=6,OC=4,D为OC中点,点E、尸在线段OA上，点E在点尸左侧，EF=2i当四边形8。E尸的周长最小时，求点E的坐标【例11】11 .村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？浦I提分作业12 .如图，在RtABC中，NACB=90。，AC=6,AB=2,A。平分/C4B,点尸是AC的中点，点E是AO上的动点，则CE+E尸的最小值为（）13 .如图，在锐角三角形48C中，BC=4,NABC=60。，BD平分NA8C,交AC于点D,M、N分别是8。，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A.3B.2C.2

10、3D.414 .如图，在正方形ABCQ中，A8=9,点E在CQ边上，且OE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点，则PE+P。的最小值是（）A.3）B.103C.9D.9215 .如图，在正方形ABCQ中，E是A5上一点，BE=2,A8=8,P是AC上一动点,试卷第8页，共11页则PB+PE的最小值16 .如图，/A08的边。8与X轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3,0)是。8上的一定点，点M是ON的中点，/408=30。，要使PM+PN最小,则点P的坐标为.17 .如图，等边AABC的边长为4,A。是BC边上的中线，尸是AO边上的动点，E是AC边上一点，若4七二2,当七尸+C取得最

11、小值时，则NECr的度数为多少？18 .在平面直角坐标系中，矩形。ACB的顶点。在坐标原点，顶点A、8分别在X轴、)，轴的正半轴上，(3,0),B(0,4),。为边。8的中点.若E为边OA上的一个动点，求,CDE的周长最小值；若E、尸为边OA上的两个动点，且E产=1,当四边形CQM的周长最小时，求点E、尸的坐标.19 .如图所示抛物线)，=加+公+c过点A(T0),点C(0,3),且OB=OC(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点E在直线x=1上的两个动点，且OE=I,点。在点E的上方，求四边形AeDE的周长的最小值；(3)点尸为抛物线上一点，连接C尸，直线C尸把四边形CHQA的面积分为3

12、：5两部分，求点P的坐标.20 .如图，在平面直角坐标系中，矩形OWC的边BC交汇轴于点AO_1X轴，反比例函数y=A(xO)的图象经过点A,点。的坐标为(3,0),AB=BD.X(1)求反比例函数的解析式；(2)点P为y轴上一动点，当+P8的值最小时，求出点尸的坐标.21 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+2x+c与X轴交于A(-1,O)B(3,0)两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M,使ABDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为宜角边的三角形是直

13、角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案:【分析】作4关于x=3的对称点W,连接A8交直线x=3与点C先求得的解析式，然后将x=3代入直线财的解析式，从而可求得y的值.【详解】解：作4关于x=3的对称点4,连接A5交直线x=3与点C.：.AC=A,C,.*.AC+BC=A,C+BCt当点8、C、A在同一条直线上时，AC+BC有最小值，即一ABC的周长有最小值，点A与点W关于x=3对称，点4的坐标为（6,3）.设直线BA的解析式N=米+3将点8和点A的坐标代入，得3=6Z+hU解得：4b=-2.33.y=-x，-42将x=3代入函数的解析式，y的值为【点睛】本

14、题主要考查的是轴对称路径最短、一次函数，明确当点8、C、4在同一条直线上时，AC+BC有最小值是解题的关键.2. 0,3【分析】当N点是。”的垂直平分线与AC的交点时NN-MM最小，再利用三角形三边的关系得到IQN-MMQM,当点N运动到C点时取等号，从而得到V-MM的最大值.【详解】解：当ND=NM时,即N点在OM的垂直平分线与4C的交点，IDN-MM=0,因为IoN-MM3W,当点N运动到C点时取等号，此时N-MM=OM=3,所以|。N-MN1的最小值为0,最大值为3.【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，确定出I。/V-MM的最小值与最大值时点N的位置是解答本题的关键.3. (1),=X2x+4,函数的对称轴为：x=3；(2)点尸(3,)；(3)存在，点E的坐I?12标为或(4,-葭).【分析】(1)根据点48的坐标可设二次函数表达式为：j=(x-1)(-5)=a(x2-6x+5