成对数据的统计分析 第3课时 一元线性回归模型及其应用.docx

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1、8.2一元线性回归模型及其应用（3课时，单元教学设计）第一课时刘谦（安徽省淮南第一中学）第二、三课时石伟伟（安徽省寿县第二中学）1单元内容与内容解析1.1 内容一元线性回归模型，一元线性回归模型参数的最小二乘估计.第1课时：一元线性回归模型.第2课时：一元线性回归模型参数的最小二乘估计.第3课时：一元线性回归模型的应用.1.2 内容解析一元线性回归模型是描述两个随机变量之间相关关系的最简单的回归模型.当两个变量具有显著的线性相关关系时，可以建立一元线性回归模型来刻画两个变量间的随机关系，并通过模型进行预测.建立一元线性回归模型的基础是对成对样本数据进行相关性分析.通过散点图，直观观察相关关系的

2、类型、方向和强弱；构造相关系数，定量刻画两个变量相关的正负性和线性相关关系的密切程度.在此基础上，建立一元线性回归模型，使用最小二乘法估计参数，得到经验回归方程，进行预测.为了评价和改进模型，引入残差和残差图，以及决定系数R2对模型进行诊断，使其不断完善，帮助决策.一元线性回归模型是统计学中一种最基础且重要的模型，许多回归模型都是以一元线性回归模型为基础进行研究.其涉及的统计模型的思想、最小二乘思想、方差分析思想（构造统计量，评价回归拟合效果）在统计学中占有重要的地位.在一元线性回归模型的建立和应用过程中，通过创建回归方程、估计模型参数、分析模型有效性、将非线性回归模型转化为线性回归模型等内容

3、的学习，使学生亲力亲为、参与其中，体会统计的思想，理解统计的概念，了解统计分析的一般方法，积累数据分析的经验，增强应用意识.让学生感悟到根据实际情况进行科学决策的必要性和可能性，体会统计思维与确定性思维的差异、归纳推理与演绎证明的差异，夯实“四基”，提高“四能”，全面培养学生的数据分析、数学建模、逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养基于以上分析，确定本单元的教学重点：（1）一元线性回归模型的意义；（2）用最小二乘法估计回归模型参数的方法；（3）残差分析和决定系数R2的意义；（4）一元线性问归模型的应用.2单元目标与目标解析2.1目标（1）结合具体事例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型

4、参数的统计意义，了解最小二乘原理.（2）掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件进行数据分析.（3）掌握残差分析的方法，理解决定系数R2的意义.（4）针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测.2.2目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道线性回归模型与函数模型的区别，知道线性回归模型中误差e的含义，知道假2设误差e满足E（e）=O,D（e）=的理由.（2）能依据使用距离来刻画接近程度的数学方法了解最小二乘原理，并利用该原理推导参数估计值的计算公式.（3）会使用统计软件绘制散点图，计算样本相关系数、求回归方程，能用残差、残差图和决定系数R2对回归模型进行评价等.（4）通

5、过具体案例，理解利用一元线性回归模型可以刻画随机变量之间的线性相关关系，在建立一元线性回归模型解决实际问题的过程中，提升数据分析、数学建模、逻辑推理等素养.3单元教学问题诊断分析“一元线性回归模型及其应用”与“成对数据的统计相关性”一样，都是关于定量变量进行的研究.在前一节”成对数据的统计相关性”的学习中，主要介绍了散点图和相关系数，侧重于考查变量之间相关的形态和程度，而“一元线性回归模型及其应用”侧重于考查变量之间的数量关系，展示变量之间的具体形态.因此，可以看作是在前一节基础上的进一步深入刻画.为了揭示这种数量关系，在第一节里引入回归模型这一概念，教学时要注意与函数模型的区别,体会统计思维

6、和确定性思维的差异,这也是由于统计学的学科特点决定的.统计学是建立在数据的基础上，通过演绎方式，对随机现象进行研究的科学.许多样本数据带有随机性，因此，在构建模型时，特地设置了随机误差项e,反映未列入方程的其它各种因素对y的影响，并对其均值和方差做了要求.学生们在学习随机误差时可能会存在理解困难.在第二节里，介绍了利用最小二乘原理寻求最佳拟合直线的方法，让学生体会其蕴含的最小二乘思想，认识到最小二乘法是统计分析中一种常用的数据处理方法.利用该方法对模型的参数做出估计时，学生们容易误将参数的估计值当作模型的参数，对参数的意义理解不够准确，这是由于对样本的随机性了解不够造成的.教学设计时专门设置解

7、惑环节，消除隙碍，深化理解.基于以上分析，确定本单元的教学难点：（1）对随机误差的理解；（2）最小二乘的原理和方法；参数的意义及参数估计公式的推导；（4）残差变量的解释与分析；（5）模型的应用以及优度的判断.4单元教学支持条件分析一元线性回归模型主要研究两个随机变量的线性相关关系，通过成对样本数据建立模型，寻找数据背后隐藏的规律.在教学时，由于需要处理大量数据，涉及画散点图、求回归方程、画回归直线、计算残差和决定系数R2以及数据变换等等，计算量大.课标（2017年版）里明确要求“会使用相关的统计软件”.因此，在本单元教学中，需要使用GeoGebra.Excek图形计算器等统计软件帮助处理数据.

8、利用信息技术工具辅助教学,不仅仅是教学的需要，也是现如今大数据时代，对于每个受教育者掌握必备的信息技术提出的要求.借助大数据的东风，创建信息技术高效课堂.5课时教学设计1第一课时5.1 教学内容1 .构建一元线性回归模型.2 .理解一元线性回归模型.5.2 教学目标1 .理解一元线性回归模型的表达式及模型中参数的意义.2 .能利用样本数据建立统计模型并会进行预测.3 .知道一元线性回归模型建立的必要性.5.3 教学重点与难点教学重点：一元线性回归模型的概念，随机误差的概念,表示与假设.教学难点：回归模型与函数模型的区别，随机误差产生的原因与影响.5.4 教学过程设计引言通过前面的学习我们已经了

9、解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的统计模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测.下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题.5. 4.1复习旧知，导入新课问题情境：我们在长大的过程中，经常听到家长嘱咐孩子不要在家里打伞，不然会长不高，类似的还有不要站在门框下，不要在桥下走，不要从晾晒的裤子面走过等，这些听了几十年的

10、话，长大了自然都知道是因为家长不愿让孩子调皮捣蛋才“编造”的。从科学角度来看，孩子的身高是由父母共同决定的。但是，孩子的身高并不是完全靠遗传影响，实际上遗传因素只占身高的60-70%,剩下的30-40%是受后天因素影响的。所以说儿子的身高与父亲的身高有关。一般来说，父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高,但会受到其他因素的影响。为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到数据如表所示：编号123-1567910U121314父亲身即Cm174170173169182172180172168166182173164180儿子身高/cm1761761701701

11、851761781741701681781721651825.4.2直观感知，引入新知问题1根据表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？师生活动：学生阅读教材，回答问题，教师补充一一在表中的数据，存在父亲身高相同而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测父亲的身高均为172cm,而对应的儿子的身高为176Cm和174cm；同样在第3,4个观测中，儿子的身高都是170Cnb而父亲的身高分别为173cm,169cm.可见儿子的身高不是父亲身高的函数同样父亲的身高也不是儿子身高的函数，所以不能用函数模型来刻画.*JI2345TH91011121314父东4席Zca

12、174170173169IK2172IM)17：；168166182173164180cam176170ITO185171170168ITO172165182儿子身高父亲身高I235679IOI11213M父朱c17417017：1821T2180IT2168166182173161IHOfA176!761.111.IH5ITe178IT4170168178172165IH2儿子身高父亲身高儿子身高不是父亲身高的函数父亲身高不是儿r身高的函数设计意图：通过分析发现，两者不满足函数关系，由此引入新的模型来刻画两者关系.5.4.3复习旧知，探究新知利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表

13、示儿子身高建立直角坐标系,将表格中的成对样本数据表示为散点图，如下图所示：问题2：经过刚才的分析，你觉得儿子身高与父亲身高的关系是怎样的？师生活动：教师引导学生回忆之前学过的变量间的相关关系的内容，给出答案一一儿子身高与父亲身高不是函数关系，而是相关关系.追问：儿子身高与父亲身高的关系是正相关还是负相关？是线性相关还是曲线相关？师生活动：引导学生积极讨论，给出结论一散点大致分布在一条直线附近,表明儿子身高和父亲身高有较强的线性相关关系.185180儿子身高/cm190170165160170160180185父亲身高/cm问题3：能否进一步验证刚才的结论？师生活动：引导学生回忆样本相关系数公式

14、_(xz-XXy-y)i=1点Ci-)2(Y-5)2计算可得相关系数-R886,表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较强.设计意图：复习样本相关系数公式，进一步明确儿子身高和父亲身高有较强的线性相关关系.问题4：除父亲身高外，还有哪些因素影响儿子的身高？师生活动：通过组织学生讨论问题，形成以下主要结论：影响儿子身高的因素，除父亲的身高外，还有母亲的身高、生活的环境、饮食习惯、营养水平、体育锻炼等随机的因素,儿子身高不是父亲身高的函数的原因是存在这些随机的因素.设计意图：找出父亲身高和儿子身高不能用函数模型刻画的原因.问题5：如何理解随机误差e对儿子身高的影响？师生活动：教师指出，如果用工表示父亲身高，Y表示儿子的身高，用e表示各种其他随机因素影响之和，称e为随机误差，由于儿子身高与父亲身高线性相关，假设没有随机误差，则儿子身高只受父亲身高影响，则Y=bx+a事实上，相关系数r0.886,故Ybx+a,也可以记作Y=bx+a+e设计意图：理解影响儿子身高的因素，并用数学语言刻画它们之间的关系.问题6：随机误差e有哪些特征？师生活动：通过组织学生讨论问题，形成以下主要结论:可取正或取负，有些无法测量，不可事先设定，故e是一个随机变量.由于随机误差表示大量己知和未知的各种影响之和，是随机的，即取各种正负误差的可能性一样，他们会相互抵消(如图3),所以它们