第十二讲函数性质的综合运用)导学案.docx

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1、第十二讲：函数性质的综合运用知识梳理及典例分析一).常见函数(基本初等函数)：I.y=C(C为常数)2.y=kx+b(kO)3.y=ax2+hx+c(a0)4.y=-X5 .幕函数：y=xa(aQ)6 .指数函数：3二优(。0且。工1)7 .对数函数：y=1ogx(a1)8 .三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。如：y=ax,+bx2+c,x+J,y=Vsinx+!，y=+5t,试着分析以上函数的构1og2XNX成。二)定义域：1 .“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇

2、偶性、换元时易忽略定义域。2 .求定义域：例1求下列函数定义域：(1)/(x)=-=+1g(3x+1)(2)1-X/(x)=JSinX+1og1(25-x2)三) .值域：1. y=y=x+1x+1CCOSX-2z-x7；y=y=-x+2x-1cosx-113.函数f(x)=-x2-x+-的定义域和值域都是1b(b1),求b的值。22小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。四) .单调性：1 .单调性的证明：(1)定义法：例1判断函数F(X)=-丁(XeR)的单调性，并用定义证明。2 .单调性的简单应用：例2(1)函数丁=1。80(6+工一2工2)的单调增区间是(3

3、-1)x+44,x是()(A)(0,1)(B)(Og)(C)r,)(D)y,1)解:依题意,有0a1且3a10,解得0a一,又当x7a-13当x1时，IOgUX1.求证：/(幻在R上是增函数；若/(3)=4,解不等式jf(+4-5)v2五) .函数的奇偶性：常用性质：1./(x)=0是既奇又偶函数；2.奇函数若在X=O处有定义，则必有/(O)=O；3.偶函数满足/(%)=/(%)=/(凶)；4.奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5./(x)=0除外的所有函数奇偶性满足：奇函数土奇函数=奇函数奇函数X奇函数=偶函数奇函数偶函数=非奇非偶奇函数X偶函数=奇函数偶函数土偶函数=偶函数偶

4、函数X偶函数二偶函数6.任何函数/*)可以写成一个奇函数93)JOfD和一个偶函数H)=/()(-)的和。例设/(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)/(x)(-x)是奇函数/(切了(x)是奇函数(C)/(T)是偶函数(D)/*)+/(T)是偶函数【解析】A中尸(X)=/(x)(-x)则F(-x)=f(-x)fM=F(X),即函数F(x)=/(x)(-x)为偶函数，B中F(x)=/(x)(-x),F(-x)=f(-x)f(x)此时F(X)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=/(x)(-x)的奇偶性不确定，C中产(幻=/()/(一幻，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)

5、,即函数Fa)=/(x)-(T)为奇函数，D中F(x)=(x)+(-x),F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),即函数JF(X)=/(幻+/(_工)为偶函数，故选择答案Do例4已知函数f(x)是定义在(一8,+8)上的偶函数.当xe(-8,0)时，/(x)=X-X41则当x(0,+oo)时，f(x)=.解：当x(0,+o)时，有-E(-8,0),注意到函数f(x)是定义在(-8,+8)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x(-x)4=-x-x4.从而应填-X-4.-2x+b例5已知定义域为R的函数/(X)=二是奇函数。(I)求。力的值；(II)若对任意的，R,不等式/(产一2f)

6、+(2/一Z)Vo恒成立，求Z的取值范围；b-2x解析：(I)因为/(X)是奇函数，所以/(0)=0,即=O=Z7=1.f(x)=a+2a+2x1-1又由f(1)=-f(-1)知=Zna=2.。+4。+11-2x11(H)解法一：由(I)知f(x)=-T=一一+，易知F(X)在(-8,+oo)2+222+1上为减函数。又因Jf(X)是奇函数，从而不等式：f(t2-2t)+f(2r-k)0等价于/(尸一2f)k-2t2.即对一切，R有：3t2-2t-k0,从而判别式A=4+12GeO=A3练习：1、己知函数/(x)=-1,若力为奇函数，则。=。解析：函数/(幻=。一芸若f(x)为奇函数，则/(0

7、)=0,即。一手片=0,=；.2、若奇函数/(x)(xR)满足f(2)=1,/(x+2)=(x)(2),则/(5)=六).函数的周期性：(一)要点：1 .(定义)若/(X+T)=(X)(7WO)O/*)是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是f(x)的周期(推广)若/(x+)=*+Z?),则/(X)是周期函数，。一是它的一个周期2 .若定义在R上的函数F(X)的图象关于直线X=和R=A(A)对称，则F(X)是周期函数，2S-a)是它的一个周期(推论)若定义在R上的偶函数/(x)的图象关于直线x=4(工0)对称，则/(x)是周期函数，2。是它的一个周期3 .若定义在R上的函数F(X)的图象关

8、于点3,0)和点S,0)(b)对称，则/(X)是周期函数，2(b-a)是它的一个周期(推论)若定义在R上的奇函数/(x)的图象关于点3,0)(。WO)对称，则/是周期函数，21是它的一个周期4 .若定义在R上的函数/(x)的图象关于直线X=0和点(加0)(。份对称，则/(X)是周期函数，4S。)是它的一个周期(推论)若定义在R上的奇函数/(x)的图象关于直线x=(w)对称，则/(x)是周期函数，4。是它的一个周期5 .若/(x+)=-(x);f(+a)=-f(+a)=-;则/(尢)是周期函数,f(x)fM2。是它的一个周期(二)例题讲解:例6函数/(x)对于任意实数X满足条件/(x+2)=,若

9、/(1)=一5,则J()/(”5)=解:由/(x+2)=为得x+4)=J(X)1小+2)=/)，所以/(5)=/(1)=5,则5)-)=万Wrg例IFa)是定义在R上的偶函数，图象关于X=I对称，对任意项,%2cO,g,有/U1+2)=/区)/(X2)，且/=。0求/(f;心证明：/(X)是周期函数：例9已知定义在R上的奇函数段)满足於+2)=x),则次6)的值为(A)-I(B)O(C)1(D)2解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(0)=0,又/(x+4)=-(x+2)=f(x),故函数，/(x)的周期为4,所以/(6)=/(2)=-/(0)=0,选B练习1、已知函数y=f(x)是一

10、个以4为最小正周期的奇函数，则/(2)=()A.OB.-4C.4D.不能确定2、已知/(x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=上磬,若/(1)=2+JG,则1-fM/(2005)=.3、已知/(x)是(-8,+8)上的奇函数，/(2+x)=-/(x)当0x1时，f(x)=x,则f(7.5)=4已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，/(x)=1gx设=()=f(),c=(),则(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab解：已知/(x)是周期为2的奇函数，当OVJCV1时，/(x)=1gx设=()=/(-)=c=()=(1)0,ca选D.七).函数的综合应用：1 .二次函数：例1

11、已知函数/。)=2-2以+3在区间-1上有最小值记为8(。)，求g()的函数表达式。例2若不等式x+ax+10对于-切x(0,)成立，则a的取值范围是()2A.0B.-2C.-D.-32选C例3设函数/(X)=忖-4x-5.(1)在区间-2,6上画出函数的图像：(2)设集合A=x(x)5,=(-,-20,4U6,+),试判断集合A和3A二(-oo,2-140,4U2+,+00).由于2+旧-2,.BuA.二、千思百练Iv-+2,01已知函数/(X)=(),则实数a的取值范围是Zx-x,x0,I12、若(。+1尸v(3-2尸，则a的范围3、设奇函数/(x)在(O,+oo)上为增函数，K/(1)=0,则不等式X)一/(X)0解集为X4、定义在R上的偶函数/(x)满足：对任意的芭,电e，+OO)(MWX2)，有U2-x,)(U2)-U1)0,则/(一2)J(3)由小到大的顺序是5、关于函数f()=igW=(0),有下列命题：其图像关于y轴对称；Wf(x)的最小值是Ig2；/(X)的递增区间是(-1,0)；/)没有最大值.其中正确是(将正确的命题序号都填上).