从曲线缝合到外摆线.docx

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1、从曲线健合到外摆线对于从初级到成熟的学习者来说，探索出现在由直线构成的图画中的曲线是迷人和有趣的。当学生猜想、实验、探索和归纳时，它提供了解决问题和推理的极好经验。它允许交流，包括口头交流和绘画交流。它提供了数字和几何、数学和艺术以及教学和其他应用之间的联系。与学校数学的课程和评价标准一致，问题解决、推理、交流和联系被整合到数学学习活动中，这些活动允许学生通过做数学来了解数学。所涉及的数学可能从简单到复杂。本文中的示例展示了学生如何绘制包络线为抛物线、心形线、外摆线或内摆线的线条集。“如果我们会如何？数学上的许多发现都源于某人的提问，如果我们会如何？学生只需要找到给定总和的所有可能的整数加数，

2、就可以知道如果他们创建一个如图1所示的例子会发生什么。沿角度的每条射线标记均匀间隔的点,并从顶点处的O开始编号。对于所选的常数和n,从一条射线上编号为a的每个点到另一条射线上编号为b的点绘制一条线段，使得a+b=n,在图1中，和为13。学生可以在纸板上用线缝合模型。一条曲线似乎出现了，尽管这幅画完全是由直线构成的。直线与抛物线相切，抛物线称为直线族的包络线。1223456789101112图1：与抛物线相切的直线学生们在缝合或绘制连接圆上编号点的线段时，使用加倍或乘以2来将每个数字与其双数字匹配。这方面的一个例子在图2a和2b中示出。圆周上的点等距分布。在这些图中，36个点以10为间隔，但任何

3、不太大也不太小的数字都可以。这些点数从0到35o从第一点（称为PI）我们画一条到P2的弦。类似地，从每个Pk,一个和弦被画到P2k0当k=18时，P36=PO,P38=P2,依此类推。在课程的代数部分,可以将编号点连接起来作为一个函数的例子，学生可以在表格中或用函数符号建模。当所有的弦都被画出时，它们被视为与一条称为心形线的曲线相切。这看起来很合适，因为它是心形的。图2a:与心形线相切的弦。图2b:与心形相切的弦的编号端点弦也可以看作是从一个点发出的光线的反射。也就是说，如果点光源在PO,并且圆的内部是镜子，则光线POP1被反射到P1P2,光线POP2被反射到P2P4,等等。（当光线被曲线反射

4、时，反射镜被定义为光线照射点处曲线的切线。）心形线也可以由一个圆绕着一个全等的固定圆旋转而成。滚动圆的圆周上的任何一点都沿心形运动，最终回到起点。在图3中点A（直径为AB的端点）的路径生成了图中所示的心形。心形是外摆线的一个特例，外摆线是一个圆上的点在另一个圆的外侧滚动所产生的路径。图3:一个圆上在另一个圆外侧滚动的点外摆线现在有人可能会问，如果PK加入P3K而不是P2K呢？在图4a和4b中，围绕圆以5个间隔标记点，并从O到71编号，然后继续编号，使得P144=P72=PO,依此类推。所有和弦都画出来,用P3k加入每个Pko如果滚动圆的半径是固定圆半径的一半，那么滚动圆上一点的轨迹就是这一族直

5、线的包络。图4a:与外摆线相切的弦711916752IGe9416492S31251971639111S654126162901551271991615917200160881571292011S987151302021586H9131203207169971S89241322041133206134206124IoeI76179IW181182183皿由；M1oeMIg11。“I鳖185189117190O侬39112113111418721151B8170981123IX7372143146145144215图4b:与外摆线相切的弦的编号端点如果每个PK都连接到P4kz则结果如图5所示。包

6、络是一个外摆线，它可以由圆上的一个点生成，该圆的半径是它绕其滚动的固定圆半径的三分之一。图5:与有三个拱的外摆线相切的弦一般来说，当固定圆的半径是滚动圆半径的n倍时，外摆线有n个拱。因此，如图5所示，当Pk连接至IJP4k时，弦与具有三个拱的曲线相切,这并不奇怪。一般来说，可以证明弦PkPnk与n-1个拱的外摆线相切。也可以试验n的分数值，图6显示了n=3/2的情况。包络的一部分类似于心形，但是曲线与自身相交，并且沿着与圆在一点相切的路径延伸。学生可以探索如果n=1/2会发生什么。图6:与自身相交的外摆线相切的弦顺便说一句，当光线照射在一杯茶上时，在杯中看到的曲线是图4中外摆线的一半。内摆线当

7、一个圆在固定圆的内侧滚动时，圆周上一点的路径称为内摆线。该路径也可以通过绘制弦PkPnk来获得，其中n是负整数。对于圆上间隔10。的点，P35被认为是P-I,P34被认为是P-2,依此类推。然而，人们必须小心，因为除非弦延伸到参考圆圈之外，否则曲线不会变得明显。在图7中，每个PK都与P-2k相连。在图8中，每个PK都与P-3k相连。一般情况下，拱数为In11o图7:与三拱内旋轮线相切的线图8:与四拱内旋轮线相切的线当n的分数值为-3/2时，得到的曲线是由半径为固定圆的2/5的滚动圆生成的外摆线。它就像一颗五角星。（见下文问题7。）包络线一般而言，如果一条曲线与线族的每个成员相切，则它称为该线族

8、的包络。在上述每一种情况下，我们都看到外摆线或内摆线是一个包络。当学生缝制或绘制模型时，他们可以对数学之美有一种新的欣赏。以下问题供学生进一步研究：1 .如果包络为抛物线的直线用直角或钝角缝合怎么办？2 .如果使用不同的和来连接沿某个角度的射线的点，该怎么办？3 .如果三条直线在一点相交，形成六个角，每个角上都缝有与抛物线相切的线，那么可以做出什么设计？4 .如果圆上标记了不同数量的点，用于缝合包络为心形的线，该怎么办？5 .了解为什么心形麦克风音质好。6 .尝试其他分数a/b,用ka/b将圆上的每个点k连接起来。7 .在一张大纸上，画一个圆圈，每隔10。间隔几个点。将每个点k与点-3k2连接

9、，将和弦延伸到远超出圆的范围。8 .利用解析几何和微积分的方法，找出这些曲线的其他有趣的性质。9 .使用曲线的参数方程来求出曲线所包围的拱门或区域的长度。10 .确定任何这些曲线的斜率的公式。11 .找出这些曲线的物理应用。结论曲线缝合和信封适用于探索广泛的水平。教师可以在各种出版物中找到这些主题的其他优秀例子。SOmerVeIIQ9乃)在其经典著作数学的节律方法(ArhythmApproachtoMathematiCS)中为教师们提供了令人愉快的想法。该书于1906年首次出版，并由全国数学教师委员会重印。Poh1(1986)在如何利用线条设计丰富的几何图形(HowtoEnrichGeometryUsingStringDesigns)一书中，用艺术的方法将曲线拼接扩展到三维空间。这一课题的研究对教师和学生都是令人兴奋和有益的。