对称性分析装饰图案.docx

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1、对称性分析装饰图案任何地方都不需要很高的数学知识，因为大部分的陈述都会有插图而不是证明。HJ.Woods(1935)1介绍正如前文所述，一些研究者提出了用产生任何此类图案的四个基本几何运动来描述重复图案。自从这些最初的论文发表以来，潜在的用户对这种方法充满了热情，但由于必要的几何概念不是传统人类学或艺术培训的一部分，所以在进行分析时遇到了困难。对此，科学家开发了明确的对称性分析程序。我们相信这些流程图将加速对称性分析方法的采用。流程图通过一系列的问题引导用户对图案进行完整的描述，每个问题只要对几何学的几个原理有基本的了解就可以轻松回答。本章的目的是对这些几何原理做一些解释。我们首先将简要地描述

2、我们所关注的各种图形：平面上的图形。这些是表面上的图形，至少在概念上可以被压扁成一个平面。许多装饰物，如纺织品、瓷砖、装饰墙和容器的平面，本身就是平面的；它们的装饰物已经是平面上的图形。我们将简要地讨论一些被装饰物体几乎是圆柱形或球形的情况。圆柱体是最简单的情况（除了平面本身），因为它的装饰可以在不变形的情况下展开到一个平面上。事实上，对于一些物体，如用于制作花纹酥饼的雕花擀面杖,或圆柱形印章这就是它们的实际用途。图2.1显示了通过展开一个来自墨西哥的圆柱形邮票而得到的带状图案。图5.106、5.109.5.123.5.127、5.129、5.157、5.184、5.186和5.197显示了许

3、多其他圆柱形图案的例子，通过这种展开过程，它们很容易转化为平面上的实际图案。图2.1一个几乎是圆柱形的圆锥体也可以用同样的方法处理。（在球体的情况下，图案单位相对于球体的大小可能足够小，以至于它可以被认为是一个平面图案（就像城市地图画在一张平面纸上一样，尽管这个城市实际上位于球形的地球上）。圆锥体和球体上的图案很多时候是围绕物体的带子。这些带子也可以被展开到平面上，只有适度的失真。图4.32.4.35、4.45、4.61、4.76和4.122中可以看到这种条带的例子。最后，在球形的碗上，经常有圆形的设计，在碗的顶部、前面或底部的中心。图2.2中的Ba1uba小碗上就有这种一般类型的例子，但却是

4、方形的，而不是圆形的。这些通常被视为”有限设计“，尽管经过一些变形，有些可以展开成为带状设计。图2.2我们将假设要研究的图形实际上位于一个平面内。（事实上，本书或任何其他书籍中的所有插图都必须是最初可能出现在更复杂表面上的图形的平面表示）。然后我们将通过平面几何的简单工具，即刚性运动来分析这些平面图形。我们所说的刚体运动是指平面对自身的距离保全变换。从原理上讲，这意味着平面上的点P,Q,-被分配到新的位置P,Q这样，任何两点P和Q之间的距离PQ总是与变换后的点之间的距离PQ相同。刚性运动通常也被称为运动、对称、等值或保距变换。下一节将专门描述平面的刚性运动。2平面的对称：四种基本刚性运动我们将

5、把以下事实作为我们的出发点（在附录1中证明）：平面的每一个刚性运动,无论多么复杂都是四个基本刚性运动中的一个。1反射（在平面内的一条线上）。2 .平移3 .旋转（围绕平面内的一个点）。4 .滑移反射本书所述的图案分析所需的唯一工具是识别这四种运动中的每一种，并注意其在特定图案中的出现（或不出现）。下文第2.2.1节对这些运动进行了简要描述。作为对这四种基本刚性运动进行更正式讨论的第一步，想象一个平面图形F,例如图2.3a的三角形，画在一张纸上。然后在该三角形上铺上一张透明的纸，并画出它的精确拷贝，即F*o现在，对于图中所示的特定三角形，没有办法移动透明纸，然后替换它，使F和F*完全吻合，除非把

6、它放回原处。这是另一种说法，这个三角形没有对称性，或者说是不对称的。图2.3a不对称的三角形然而,如果三角形是一个等边三角形ABC,如图2.3b所示，那么当我们描绘副本A*B*C*时，有几种方法可以替换它，使它与ABC重合，例如，我们可以将透明板旋转120。（三分之一整圈）,使A*位于B上，B*位于C上，C*位于A上，这表明等边三角形具有旋转对称性，或允许旋转120oo一个同义的表达是三角形在旋转120下是不变的。图2.3b在等边三角形的情况下，三角形也可以自身翻转，这样A*仍然位于A上，但B*位于C上，C*位于B上。这表明三角形也承认直线1上的反射，直线1是边BC的垂直平分线（图2.3c）o

7、在等边三角形的情况下，还有两条这样的反射对称线，即AB边和AC边的垂直平分线。这里我们再说一遍，三角形在这三条垂直平分线中的任何一条上的反射下都是不变的。图2.3c等边三角形的对称轴1在某些无限图形中，例如图2.3d中由无限行等距三角形组成的图形，当描摹的副本由整个无限图形组成时，通过将T*移动到Tb,T*移动到T2等，将有可能使副本与原件相匹配（无需切纸）。这表明原来的一排三角形具有平移对称性，因为将整个图形向左移动一个三角形的运动称为平移。当然，我们也可以将每个三角形向左移动两个或更多个三角形。我们再说一遍，三角形的无限行在任何这样的平移下都是不变的。图2.3d平移对称的图案请注意，透明纸

8、实验表明，没有一个有限的图形允许平移，因为没有平移可以移动一个有限的图形，使其与自身重合。在本书中，单词pattern将仅用于指代（潜在的）无限数字。如果一个平面图形包含四个平面等距中的一个或多个,则称它对称。例如，在这个一般意义上，图2.3d中的三角形的无限带是对称的，因为有一个平移，将每个三角形移动到下一个三角形上。这是一个更一般的概念，而不是普遍理解的仅指两侧对称（参见Brainerd1942）o也就是说，在流行的用法中，一个平面图形只有当它允许反射时才被认为是对称的。我们将在下一节中对此进行更多的讨论。首先，我们转向对平面的四种刚性运动中每一种的更详细的描述。2.1反射线1上或穿过线1

9、的反射（为了强调，也称为线反射或镜面反射）将每个点P移动到点P上，该点P是通过画一条垂直于1的线并在1的另一侧将其延伸相同的距离而获得的。（如果P在镜像线上，则P1=P,即ZP是一个固定点。）形象化的一个好方法是画点P,Q在一张纸上画出1线（飞机）。然后沿着1折叠这张纸，在P,Q。位于I的另一边。这些新的点，P,Q,。是P,Q,在1中的镜像，.如图2.4所示。因此，任何可以对折使得一半与另一半完全重合的图形都有一个反射，而折叠线就是该反射的镜像线。图2.4镜像对称将平面上的每一点取为直线1上的镜像的等距线称为直线1上的反射线。直线1称为反射镜或反射轴。记住镜像线上的点根本不移动:它们是这种等距

10、的固定点。图2.5a中的三角形通过线I中的反射相关联。图2.5b中的SanIIdefonsoPueb1o图案的上半部分和下半部分通过穿过条带中间的水平线中的反射以相同的方式相关联。在我们的插图中，我们用实线表示镜面反射轴。（虚线是滑移反射轴，将在下面的2.4节中讨论。）图2.5a中央水平线是对称轴图2.5b在带状（或条状）图案中，任何反射轴都必须沿着带的轴，如图2.5a和2.5b所示，或者垂直于该轴，如图2.5c和2.5d所示。注意，对于带，最多只能有一条水平反射线，但可能有许多垂直反射线。事实上，在一个允许平移的无限带中，正如在图2.5的所有那些图中一样，必然会有无限多条垂直反射线（如果有的

11、话）。在图2.5c和2.5d中只标出了两条反射线；平移将每条垂直反射线移动到另一条反射线。图2.5c垂直线是对称轴图2.5d在二维图案中，两条相交镜像线的存在意味着围绕它们的交点存在旋转（旋转角度是两条线相交角度的两倍）（这在附录1中有更详细的讨论）。）比如图2.6a,一个中国的窗根，有直角（90。）的镜像线；因此，围绕它们的交点有一个半圈（180。）。在图2.6b的日本图样中，镜像线以60。角相交;因此，围绕它们的交点旋转了120图2.6a,一个中国的窗根，有直角（90。）的镜像线图2.6b日本图样在附录1中表明，反射是构成所有刚体运动的基础，也就是说，每一个刚体运动（平面的渚B是应用一个、

12、两个或三个反射的结果。两次反射的产物是平移和旋转，将在下面的2.2和2.3节中讨论。一个允许有反射平面图形通常被认为是左右对称的。事实上，在许多论述中（如本书14.2节所讨论的）,这是唯一一种被认可的对称。然而，我们将对称一词用于其更一般的意义上如果一个平面图形允许四种刚性运动中的任何一种（或多种）运动，就说它是对称的例如，一个希腊十字架是对称的，因为它允许反射。但是纳粹党所用的十字记号也是对称的，因为它允许绕其中心旋转90度（或180度或270度）。纳粹党所用的十字记号没有（镜像）对称性，因此对称性较低（即z允许较少的刚性运动）,但仍保持与希腊十字相同的旋转对称性。2.2平移平面的平移只是沿

13、着某一条线1（或任何与之平行的线）位移或移动某一距离do因此，向量v（长度为d,方向平行于1）完全定义了平移。更具体地，如果向量的尾部位于点P、Q、的每一个处，并且每个向量的头部被标记为P、Q、P,Q到P、Q的平面的刚性运动是向量V的平移（或者等效地，1方向上的距离d）o图2.7a示出了一种三角形图案，它（当解释为无限带时）允许平移，但不允许其他等距变换最小平移，即从三角形A到三角形B,从三角形B到三角形Cz等等。在图2.7a中显示为矢量vo在图2.7b中，最小平移向量是WoABCD图2.7a按照向量V平移图2.7b陶瓷设计当然，允许某个向量V平移的图案也允许2v、3v等平移,以及相反方向的平

14、移，即-v、-2v、-3v等平移。再次参考图2.7a,这意味着如果某个平移(V)将每个三角形向右移动一步，那么当这个平移应用两次时，产生2v的新平移，每个三角形向右移动两步。同样，平移-3v,将每个三角形向左移动三步。注意，在平移下没有固定的点，每个点移动完全相同的距离do2.3旋转旋转只有一个固定点，旋转的中心当我们知道它的中心，旋转的角度和它的方向，顺时针或逆时针，旋转就完全确定了。逆时针方向通常被认为是正方向很明显，旋转是有限（即有界）图形允许的唯一对称（除了反射）。图2.8a显示了一个简单的有限设计（两个钩子，A和B）,其唯一的对称是双重（即180。）旋转。图2.8b显示了科契蒂普韦布

15、洛的双重有限陶瓷设计。图2.8c不具有旋转对称性；它没有旋转中心点。图2.8a二重旋转（18。旋转），有限设计图2.8b陶瓷设计图2.8c叶状元素同样明显的是，一个带图案可以接受的唯一旋转是半圈（180度旋转）。与垂直反射的情况一样，如果一个带图案（允许平移）允许一个这样的旋转，它就允许无限多个这样的旋转，因为每个平移将任何旋转中心移动到一个新的旋转中心。图2.9a示出了通过平移重复图2.8a的钩子以形成带状图案。在图2.9b中使用三角形显示了完全相同的对称性。该图案允许围绕P和Q等点进行两次旋转。注意，围绕P或Q旋转180。以外的任何角度（或180。的倍数）都会使条带偏离其原始位置一个角度；因此，带钩或三角形不可能匹配其原始位置。这就是为什么能带图案只允许双重旋转，而不允许其他旋转图2.9c显示了一个SanI1defonsoPueb1o图案，其对称性与前面两个例子完全相同。图2.9a二重旋转，一维设计图2.9b绕点P和Q的二重旋转图2.9c陶瓷设计一个值得注意的事实（晶体学限制*）是平面中二维重复图案所允许的唯一可能的旋转是半圈、三圈、四圈和六圈（分别为180、120、90和60度）。史蒂文斯给出了一个简单的证明（1980:380-81）。图2.10a说明了钩子的排列，使得整个（无限）图形可以旋转180度（两倍）。这种钩子可