331 从函数观点看一元二次方程.docx

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1、3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式3.3.1从函数观点看一元二次方程课标要求素养要求1 .了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系.2 .会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况.通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养.课前预习知识探究自主梳理1 .二次函数的零点一般地，一元二次方程G2+v+c=O(WO)的根就是二次函数y=c-bx+c(aWO)当函数值取零时自变量X的值，即二次函数y=0x2+加+c(O)的图象与x轴交点的横坐标,也称为二次函数y=0?+云+c(aO)的零点.2.二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(

2、当。0时)判别式/=b2-4acJ0/=0J0方程ax2+bx+c=O的根有两个相异实根处.2=-bb2-4ac2a两相等实数沏=及b一-五没有实根二次函数y=0x2+bx+c的图象/二次函数y=?+bx+c的零点有两个零点XI.2=一?N-24CIa有一个零点X1=X2=_h_2a无零点。点游二次函数的零点与一元二次方程有何关系？零点是个点吗？二次函数的零点即对应一元二次方程的根，也是函数图象与%轴交点的横坐标.零点不是点，是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零.自主检验2 .思考辨析，判断正误(1)二次函数的零点是图象与X轴的交点.(X)提示零点不是点，是图象与X轴交点的横坐

3、标.二次函数尸以2+法+#0)一定有零点.(X)提示当/=-4。CyO时，没有零点.(3)二次函数y=0x2+bx+c(40)的零点即为对应方程ax2+bx+c=0的根.()(4)二次函数段)=2-3x+1的零点是1ff.()3 .函数j=2+x+3的零点个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析由f+x+3=0得/=1-120,方程没有实数根，从而函数没有零点.4 .函数y=2x2-5x+2的零点是()A.(2,0),(：,0)B.(-2,0),(-今()C.2,2D.-2,-2答案C解析由2-5x+2=0得x=2,及=/且零点不是点的坐标.4.若一元二次方程f一以+2&=0有实数根，则k

4、的取值范围是.答案(一8,2解析由4=168220,得欠W2.课堂互动F-题型剖析题型一二次函数零点的判断【例1】判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点.(1)y=x2+2x+3.(2)y=x1-6.(3)y=2x2+3x+2.解(1)由y=-f+2x+3=0,得无I=-1,X2=3. ,二次函数y=-f+2x+3有两个零点一1和3.(2)由y=jcX6=0得X1=-2,冷=3.，二次函数y=2-X6有两个零点一2和3.(3)由2x2+3x+2=0得=9-4X2X2=-70,二方程f-7x+12=0有两个不等实根，,函数有两个零点.(2)由f+1=0得/=40.对于函数=-bx2+0-1,

5、当b=0,a0时，y2=-bx2+a-1只有1个零点；当b0时，由于42=。24/0,因而y2=-bx1+a-有2个零点.综上，函数”=-bx2+r-1的零点个数为1或2.(2)由2和3是函数的零点，故2+3=,23=b,/.=5,b=6,则以=6f5-的零点为1,一4.题型三一元二次方程根的分布【例3】已知一元二次方程X2+如+1=0的两根都在(0,2)内，求实数机的取值范围.解设y=x2+加x+1,J=n2-40,o=1O,由题意知j=2=4+2w+10,C机0一-2，2aw-2.40,xX2=-20,即m0,=00,(4(加2)+z50,即加一50,解得一gm0,，方程有两个实根，即函数

6、有两个零点.2.已知关于X的方程fr+3=O的一个根大于1,另一个根小于1,则实数。的取值范围是()A.(4,o)B.(8,4)C.(一8,2)D.(2,+8)答案A解析Y关于r的方程f-0r+3=O的一个根大于1,另一个根小于1,；令y=x2-or+3,其图象开口向上，只需见=1-。+3=44.故选A.3 .若二次函数y=x2+2x+1(Wo)有一个正零点和一个负零点，则有()A.0C.a答案A解析法一由y=公2+2x+1(0)的图象过(0,1)点，知要使函数的图象与X轴的交点分别在y轴的左、右两侧，则0.法二由方程加+2x+1=0有两相异号实根，设两根为X2,则汨k宗0,且/=4-4X),

7、dbc,则该函数的零点个数为()A.1B.2C.0D.不能确定答案B解析由yk=+b+c=O,又abc,.,40,c、vO,/=/4仇0,函数的零点有2个.二、填空题6 .函数y=x1-nvc-2的一个零点是一1,则m=，另一个零点是答案12解析由yh=-=1+-2=0得m=1,.*.y=x2X2,由X2X2=0得汨=-1或A：2=2.7 .已知函数y=r2+2ar+c3H0）的一个零点为1,则它的另一个零点为答案一3解析由题意知x2+2or+c=0的一个根为1,设另一根为Xo.则1+xo=-2,*.xo=3.8 .函数y=f-5-6在区间1,4上的零点个数是.答案0解析由f5x6=0得X1=

8、-1,及=6.即函数的零点是一1,6,.函数在区间口，4上的零点个数为0.三、解答题9 .已知二次函数y=x2x+只有一个零点，求实数。的值.解二次函数y=-f-+只有一个零点，即方程一f-+=O有两个相等的实数根，.*.J=1+4=0./.a=10 .已知函数y=v2+20r+1有两个零点X1,jq且幻(0，1),X2(-4,2),求实数。的取值范围.解Vy=0r2+20r+1有两个零点，则函数的图象过(0,1)且与X轴有两个交点,0,又加(0,1),X2(-4,2),yx=3o+10,、必=-4=8+10,/.6z-,即。的取值范围是(一8,一；).能力提升I1若函数y=加一2(+1)x+。-1有且仅有一个零点，则实数a=答案0或一!解析当=0时，由y=0得一2x1=0,即x=-今符合题意；当白0时，加一23+1江+。-I=O为一元二次方程，且有两个相等的实数根，.=4(q+Ip4a(。-1)=12+4=0,=-g.综上，实数。的值为。或一/12.在R上定义运算。：aQb=ab+2a+b,则y=xO(-2)的零点为()A.0和2B.-2和1C.一1和2D.-2和0答案B解析由题意y=x(x-2)+2x+(-