二阶变系数线性微分方程的解法讨论.docx

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1、二阶变系数线性微分方程的解法讨论摘要:在高等数学应用中，常微分方程理论的发展由来已久，常用于解决各种实际问题。二阶变系数线性微分方程便是其中非常重要的一种求解方式，也是学术领域研究的重点，然而现阶段关于该方程的更多的是对方程本身而言，而有关求解方法并未深入探析。在现实生产中,这一方程能够应用于现代科技和工程建造等领域,但因其在变系类型的求解方面存在难点，因此当前亟需有效的求解方法.本课题将重点放在该方程求解方式上，分别从一般和特殊形式两个角度展开分析来寻求更多解法策略，希望能为二阶变系数线性微分方程后续的研究及发展提供更多有意义的参考。关键词：二阶变系数线性微分方程;特解;通解Discussi

2、onof1inearDifferentia1EquationofSecondOrderVariab1eCoefficientAbstract:Inhighermathematica1app1ications,thetheoryofordinarydifferentia1equationshasbeendeve1opedfora1ongtimeandisoftenusedtoso1vevariouspractica1prob1ems.Thesecond-order1ineardifferentia1equationwithvariab1ecoefficientsisoneofthemostimp

3、ortantso1utionsandisthefocusofresearchintheacademicfie1d,however,atthisstage,theequationismoreabouttheequationitse1fandtheso1utionmethodisnotdeep1yexp1ored.Intherea1wor1d,thisequationcanbeusedinmodemtechno1ogyandengineeringconstruction,buttherearedifficu1tiesinso1vingitforvariab1esystemtypes,sothere

4、isanurgentneedforaneffectiveso1utionmethod.Inthisstudy,wefocusontheso1utionofthisequationfromtwoperspectives,genera1andspecia1,inordertofindmoreso1utionstrategiesandtoprovidemoremeaningfu1referencesforthesubsequentresearchanddeve1opmentofthesecond-order1ineardifferentia1equationwithvariab1ecoefficie

5、nts.Trans1atedwithwww.DKeywords:Second-ordervariab1ecoefficientsofahomogeneous1ineardifferentia1equation;SeCOnd-Ordervariab1ecoefficientofinhomogeneous1ineardifferentia1equations;particu1arso1ution;genera1so1ution摘要：IAbstract:II1引言12相关理论基础22.1 特殊的变系数微分方程一欧拉方程22.2 二阶微分方程43关于二阶变系数齐次线性微分方程的一些求解方法63.1 化

6、为常系数法63.1.1 在自变量变换下,可化为常系数的微分方程63.1.2 未知函数的齐次线性发生变换83.2 降阶法104关于二阶变系数线性非齐次微分方程的一些求解方法143.3 1降阶法144.2 常数变易法155总结191引言微分方程在历年来都是学者们的重要研究对象,而在二阶变系数微分方程这一点的研究却很缺乏,以下是对于这一方面的很多研究成果以供大家参考.杨万顺(2011)在进行二阶变系数线性微分方程的课题研究中指出初等解法并不是每一个二阶变系数线性方程都存在,而且这个初等解法是有限的.同年方辉平学者提出了有关二阶变系数齐次线性方程存在另外的新解法，即通过riccati方程可以进行求解.

7、2016年陈雄研究专家等人指出应该跳脱过往常用的降价思维,而是通过标准型来达到二阶变系数线性微分方程求解目的.杜庆学者通过专研一般方程y+p()V+4()y=0,若存在特解m(外，在此基础上，再经过线性变换，便可以发现另一个与特解y)但是又可以到了一个既与乂(用线性无关又可在系数p(x),q(x)下得出一个特解y2(x)这便意味着该方程通解能够在P*)国(X)形式下得以明确阐释H1顾建吾等学者则通过使用常数变易法重点针对三类二阶变系数线性微分方程相关求解表达展开研究巴方书盛学者则通过结合微分算子法，得到了变系数微分算子求法解.二阶线性微分方程是一种应用较广,在微分方程中也有着举足轻重的地位.在

8、现阶段的高等数学领域，仅针对欧拉方程的解法占据研究网.常微方程理论的发展由来已久，也是近代高等数学研究的一个非常重要的部分，因为它与生活中很多实际问题直接关联阴.它常常既是研究的起点,又是基本的工具.所以，全面掌握常微方程相关的原理，熟练运用其方法，这对于问题求解来说都是十分重要的叫因此就其实用性而言,在近代数学中也相当具有代表性,其意义也非常重大.这也是我们研究这个题目的意义所在.过去相关研究学者指出初等解法并不是每一个二阶变系数线性方程都存在，而且这个初等解法是有限的，有的二阶变系数线性方程并不存在初等解法，同时通过相关系数的讨论研究，再通过举例来展开说明，考察现有的相关高数微分方程研究,

9、一般是围绕常系数类型展开,即便是相关教学教材中也缺乏二阶变系数等类型微分方程的研究和说明.综上，本课题将在二阶变系数微分方程的基础上，对相关求解展开详细探究。2相关理论基础研究二阶变系数线性方程需要首先明确以下问题,从而更好地开展后续研究.首先明确微分方程与其他方程的不同之处f-3x+1=0,GTi+G=,中对未知量X施加了代数运算，因此它们称为代数方程.sin2x+cos3x=1,ex=x2-1中具有未知数人的超越方程.y-2y-y=ex,y+2y1-y+y=sinx1中，y代表的是未知函数，同时对y展开微分运算，得到微分方程.其次明确解微分方程的几何意义.在对微分方程进行相关求解运算之初，

10、通常会使用到积分方法，所以也赋予微分方程通解另一个概念，即通积分。一阶微分方程的通积分是一函数族,每个函数的图形都是一条曲线，也称为积分曲线,通积分称为曲线族.而特解是通过特定的一条曲线.2.1 特殊的变系数微分方程一欧拉方程a2x2+穿+%=f(x)(2-1)式中即，生是常数,且生W0.作变量代换,令f=Inx,则x=e,得+包+4y=(d)一axax即a22麋+(4-%)啜+%-=.&)为常系数微分方程，未知函数是自变量为/的函数y()当方程(2-1)中无X的项,即a2(x)+a1(x)y=(x),使y=r,因此可以化为一阶微分方程a2(xX+a1(x)f=(x),同时也是变量分离方程,同

11、样可以求解.2.2 二阶微分方程对于二阶常系数线性微分方程的一般解析式：y,+ay+by=f(x)(2-2)基于它的定义可了解到Pa),观幻,/co是连续的，才认为它的解合理并存在.对于其可积性是在三者都在某一中指定的环境下才能存在.这一部分的内容涉及比较深,在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题.因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径,所以，为了大家能更快的初步认知二阶微分方程,对于二阶微分方程我们给出以下解释：如(2-2)式，是二阶常系

12、数线性微分方程的标准式,当/)=0时，二阶常系数齐次线性微分方程；当)HO时，二阶常系数非齐次线性微分方程.了解二阶常系数微分方程以后，我们再深入探究一下其解法：结合(2-2)式，可以观察到有一种特解标准式，形如y=e根,并将这个式子将y=a代入原解析式中，得(2+)ezt=0,9而e0,于是有ct/?=0.(2-3)(2-3)式得到的是一个代数方程，它是(2-2)式的一种特征方程，其求解得出的根则称之为特征根。=6t2-4?情形1：若A,说明(2-2)式存在两个不同的实根-4,2=得到方程(2-1)的两个特解%=e%=e,而%。)二寸Cy2M故它们是线性无关的，因此(2-1)的通解为y=C1

13、ex+C2ex.情形2：若A=。，则特征方程(2-2)有两个相同的实根只得到方程(2T)的一个特解Y=e，需要求另一个特解使力，使Ac,设及=(X),即yy2=N(X)/、，代入方程(2-1),并约去巴得+(21+b)=0,因为4是方程尤+h=0的二重根，故有若+cj+b=0,21+=0,可以得/=0,取特解=x,即得y2=Xe,于是（2-1）的通解为y=（C1-C2x）ex.情形3：若A0,当0.事实上,因为dy_dydt_dydxdtdxdt,=4也)=T与一缉(3-3)dxdtdt)dxdtdt,代入微分方程(3.3T),则原微分方程变为a-+(b-a)-+cy=O.(3-4)dt2,dt7通过观察微分方程(3-4)属于常系数齐次类型，因此可以利用上文2.2节中的求解方法得到其通解,根据变换(3-2)进行代入,可以得到原方程的通解.类似的,根据自变量变换0r+8=d,可以将形如(ax+/?)2+a(ax+/?)+2y=0,drdx的微分方程,进行一系列转换后，得出一个常系数类型.例1：求解以下欧拉方程(1)2jS+3x包-y=0;dx2dx?解:令x=d,则原方程化为如下关于变量1的新方程其特征方程22+-1=0,求解上述一元二次方程的解可得特征根为4=p=-1.因此新获得的方程通解为tyt)=cxe1+c2e,1再将其解代至原变量，便能够求出通解y(x)=c1Vx+c2