空间向量与立体几何(2).docx

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1、空间向量与立体几何目录1 .重要知识点22 .知识结构图33 .教师备案34 .考点剖析45 .经典精讲46 .空间向量基本概念与计算57 .向量法与传统方法的合理选择68 .不建坐标系的空间向量计算79 .空间角的计算810 .空间距离的计算911 .综合912 .易错点门诊IO13 .真题再现1014 .实战演练1115 .大千世界考题1216 .参考答案1317 .易错门诊 D2117. 1.真题再现2117. 2.实战演练2217. 3.大千世界考题2518 .立体几何与空间向量1251. .1.课程大纲2518. 2.空间中平行2519. 3.空间中垂直2619 .立体几何与空间向量

2、2271. .1.课程大纲2819. 2.空间中距离2820. 3.空间中角度问题28满分晋级1 .重要知识点1 .共面向量定理：如果两个向量4, E不共线，则向量2与向量。共面的充要条件是.空间向量 分解定理：如果三个向量”，b, C不共面，那么对空间任一向量P ,存在一个惟一的有序实数组X , y , z , 使 =Xa+ y +zc2 .空间向量的平行和垂直的条件：设a =(4 ,见，%) , b = (bl , b2 , b3), a ( A() ； a b. =, cos(tz b) =.3 .若向量匕和彩是两个不共线的向量，且都平行于平面 (即向量的基线与平面平行或在平面内)，直线

3、/的 一个方向向量为V ,贝ia或/在内=.4 .如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的.设%，%分别是平面a ,夕的法向量，则a6或与用重合u: a /?.5 .设为平面的法向量，斜线/的方向向量为zn,则向量/，”所成的角 切，力与线面角。的关系可能为.6 .在二面角-/一夕的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OAA /, OB /则DAQB叫做二面角-/-6的平面角.二面角的平面角的大小 就称为二面角的大小.我们约定二面角的范围为.设叱 a, m2 , 则角 的，n2)与二面角a7-.2 .知识结构图空间向量与立体几何当间向小J 一本概念 本性质 .位置关系 、坐标衣加画计第

4、I.何珀度、-HUU-所成一、线面角、点到平血的印债、线到平面的跖离、平行平间距-3 .教师备案V教师备案 空间向量的基本概念、性质和计算可以对比平面向量学习和掌握， 空间向量基本定理是重点内容.利用空间向量解决立体几何的基本原理是利用方向向量表示直线、利 用法向量表示平面、以向量夹角代替空间角、以向量投影代替空间距 离，而计算向量夹角和向量投影的方法均为向量内积.但是由于向量 夹角和空间角的取值范围不同，平面法向量的选取又不唯一，每次用 向量计算夹角后需要仔细分析所得角是所求角还是所求角的余角或 补角.直线的向量方程用于求解立体几何中的动态问题，在以后的讲义中才 会涉及；平面的向量表达式用于

5、构造方程组，计算平面法向量，需要 注意解题格式.老师可依据学生水平适当介绍向量外积，用于快速计 算法向量.4.考点剖析考注考点剖析考点1：空间向量的概念、性质和计算（加、减、数乘和内积）考点2：空间向量与直线、平面的关系考点3：利用空间向量证明空间中的平行、垂直关系；考点4：利用空间向量计算空间中的距离（点面距离）和角度（异面直线所成角、线面角和 二面角）.5.经典精讲经典精讲.V教师备案例1为空间向量基本念、性质和计算.空间向量的t念是平面向 量的延伸，在平面向量和立体几何的基础上理解空间向量并无困 难，因此在近年高考中很少出现关于空间向量概念的问题，若出现 则必以选填题的形式，且侧重点必为

6、空间向量基本定理.例2为向量法与传统方法的比较，为了强调尽管向量法以计算代替 思考，可以有效降低立体几何题目的难度，但也并不是任何情况下 都是向量法优于传统方法.例3为不建立空间坐标系的立体几何计算，为了强调向量法并不一 定依赖于坐标系，根本原理还是空间向量基本定理和内积运算，空 间坐标系是空间向量基本定理的一种特殊形式.当然，绝大部分空 间向量与立体几何的问题还是利用空间坐标系求解的.例4、例5、例6为利用空间向量判定空间中的平行、垂直关系或计 算距离、角度，是典型的解答题命题形式.由于向量概念中，平行 和重合是不作区分的，因此空间向量不适合用来判定空间中的平行 关系（还需要声明不重合），若

7、题目中涉及平行关系的证明，推荐 使用传统方法.例4为空间角度的计算；例5为空间距离的计算； 例6为综合题，需要空间向量与立体几何知识的全面应用,作为第一轮复习，不应只使用空间向量的方法解题，应使用传统方法和向 量方法分别求解，既可以训练空间想象能力，也可以训练计算能力， 第二轮复习时才应有所侧重.另外，要强调解题的程序和格式，避 免不必要的失分.6.空间向量基本概念与计算【例1有以下命题：如果向量4与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那 么的关系是不共线；。，A,8,C为空间四点，且向量OA,08,OC不构 成空间的一个基底，那么点。，4,8, C一定共面；已知向量C是空间 的一个基底，则向

8、量。-A，c也是空间的一个基底.其中正确的命题是 ( )a. (Dd) B. (D C. (Dd) D. (D(I)(2)命题：若与b共线，与C共线，贝IJa与C共线；向量a、匕、C共面， 则它们所在直线也共面；若。与6共线，则存在唯一的实数3使=而； 若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM=gA+g3 + gC, 则点”一定在平面ABC上，且在ZVSC内部.上述命题中的真命题是.【拓3】如图：在平行六面体4BCQ-A4G。中，M为AG与Ha的 交点.若 AB = a , AD = h , A41 = c ,(1)下列向量中与相等的向量是()A 11,n 1I1.A. a + -b

9、 + cB. -a + -b + c2222 f Z,AB = Z1A = ZBAD = p 且 48 = 40 = A4l =1,求 WM 与【铺1】（2009北京理4文7）若正四棱柱A8CD-MG。的底面边长为1,A片与底面ABa）成60。角，则AG到底面ABa）的距离为（）A. B B. 1 C. 2 D. G 37.向量法与传统方法的合理选择【例2】（2009全国115）已知正四棱柱ABCf）-A BCQ中，AA=2AB, E为AA1中点， 则异面直线BE与Cq所成角的余弦值为（）A.叵B. 1C.%D. 3105105（2008全国IlIo）已知正四棱锥S-ABS的侧棱长与底面边长都

10、相等，E是S8的中点，则AE、SO所成的角的余弦值为（）A. -B.也C.且D.-3333（3）（高考变式题）正方体ABCQ-AqGA的棱长为1,。是AG的中点，则。到平面ABCQ的距离为（）A.在B. C. 1DT2_423 【拓2】（2010全国I理7）正方体ABC。-A4G中，网写平面ACA所成角 的余弦值为（）A.旦B.且 C. - D.亚3 333【拓3】（2010全国II文8）已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面AC, SA = 3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A.3 B.好 C.立 D.-4 4448.不建坐标系的空间向量计算

11、【例3】如图，在空间四边形OABC中，OA=8, A = 6, AC=4 , BC = 5 , ZOAC = 45o , NcMe = 60。， 求OA与8C的夹角的余弦值.【拓2】如图所示,平行六面体AeCD-A耳Ca中，以顶点A为 端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.（1）求AG的长；求8A与AC夹角的余弦值.【备选】（2009湖北文6）如图，在三棱柱ABC-Agq中，ZACB=90。,ZACC1 =60,NBCC= 45。，侧棱CG的长为1，则该三棱柱的高等于（）A. -B.立 C.走222D,339 .空间角的计算【例4】【备选】（2010 天津 19）如图，在长方体A6CD-A4

12、GA中，E, F分别是棱BC, CC1 的点，CF = AB = 2CE, AB:AD:AA,=:2.4. 求异面直线所与A。所成角的余弦值；证明：AFJ_平面A。； 求二面角4-比-/的正弦值.（2009 江西 9）如图，正四面体ABC的顶点A , B, C分别在两两垂直的三条射线Ox, Oy, OZ上，则在下列命题中，谓送的为（）A. O-ABC是正三棱锥B.直线08平面Aa）C.直线4）与08所成的角是45。D.二面角0-08-A为45。10 .空间距离的计算【例5】（2008福建厦门）如图所示，已知四边形ABCD、EVW和MDC尸都是边长为 的正方形，点P、。分别是EC）和AC的中点.

13、求：PM与尸。所成的角； 2点到平面Era的距离.【铺1】如图，已知正四棱柱ABCd-AACQ中，底面边长AB = 2,侧棱BBl=4,过点B作BIC的垂线交侧棱CC于点E, 求证：AyCllSBDEi 求AB与平面E汨所成角的正弦值.11综合【例6】长方体ABCQ-AqCQ中，AB = BC = 4, E为AG与BR的交点,F为BCI与BlC 的交点，又A/FBE,求长方体的高5片；二面角B-AF-C的余弦值大小.【拓2】（2010广东汕头）如图，在四棱锥尸-ABa）中，RAj_平面ABa）,底面ABS为正方形，且EA = AD=2, E、尸分别为棱4）、尸C的中点. 求异面直线斯和PB所成

14、角的大小；求证：平面PCEJ平面?BC ；（3）求二面角E-PC-。的大小.【拓3】（2010石景山一模，理17）如图，已知直三棱柱ABC-AgG , ZAC8 = 90o, E是棱Ca上动点，尸是 AB 中点，AC = BC = 2, AAI=4.求证：CFJ_平面ABg;当E是棱CG中点时，求证：。尸|平面4%； 在棱CG上是否存在点E，使得二面角A-Eg-B的大小是 45,若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.【备选】（2010山东19）如图，在五棱锥产一 ABCM:中，QA_L 平面 ABeQE, ABCD, AC/ED ,AE/BC, NABC = 45。，AB = 2人,BC = 2AE = 4,三角形 EAB是等腰三角形.求证：平面PCD _L平面EAC ； 求直线尸B与平面PeD所成角的大小;（3）求四棱锥P-AC力E的体积.12 .易错点门诊已知四面体ABCD中，ABf AC, 4。两两互相垂直，则下列结论中，A + AC + AP=AB + AC-At); ()AB +AC+AZ)2 =AB2+AC2+AD2 ； (3)(B + AC+AD)BC = 0; (4)AB CD = AC BD = AD BC . BABC=BABD . 一定成立的有()个A. 1B. 2C. 3D.