两角和与差的正弦余弦正切2.docx

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1、两角和与差的正弦、余弦、正切(2)一.教学内容：两角和与差的正弦、余弦、正切(2)目标：掌握两角和与差的正切公式，能正确运用它们进行三角函数式的化简、求值与恒等式证明，提高学生的运算能力及综合运用知识分析问题和解决问题的能力，体会换元及整体的思想方法。二.重点、难点：重点：两角和与差的正切公式以及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合运用。难点：几组公式的灵活运用。【学法指导】注意两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活变形及公式的逆用以及公式成立的条件。特别是tan()=如tan的变形公式tantan尸=tan()(1tana1+tana*tantan0的灵活运用。当以舛有一角为90的整数倍时

2、，用诱导公式为宜。解题过程中应注意技巧：(1)常数的运用。如1,3,更，1,乌，/等，均可视为特殊角的三角函数3222值，从而将常数换为特殊角的三角函数值使用。(2)角的变化。如：a+=(2a+)-aia=Qa+)-氏2a+=(a+0+a；a=Ia-Ba-22222=(a+0+(-尸)；2万=(+?)一(”0等。【例题分析】例求值：tan150+tan300+tan15o(an30o分析；观察所给出的两个角，它们的和是45。，而三角函数的名称为正切,所以不妨展开tan45=tan(15o+30o)。解:,.tan45=tan(30o+15o)=tan3Qotan15o1-tan30otan15

3、otan3（F+Un15o=1-tan30ptan15o.tan30p+tan15o+tan30ptan15o=1说明：本题主要考查两角和的正切公式及其灵活的应用。解题时应注意观察角与三角数的特点，从而找到它们的内在联系，正确运用公式。本题也可先由tan15o=tan（45。-30）,利用两角差的正切公式求出tan15。的值（tan15o=2-石），再代入所求式求得结果。例2.设tana,tan/?是方程nix?+（21吁3+（111-2）=0的两根，求tan（+夕）的最小值分析：既然tana,tan熙方程的两根，则方程的根必存在，即0,两根与方程的关系应用韦达定理。解：由己知tana,Ian

4、熙方程的两根99.=(2m-3)2-4m(m-2)0.,.m-4C3-2mtana+tanp=且mCm-2tanatanp=m3-2m/6tana+tan?n.tan(+)=-=i-=1-tanatan_m-2m3-2m、3hz小、3,/m.,.-,Bptan(+)故tan（+夕）的最小值为。4说明：本题考查的知识有一元二次方程根的判别式、韦达定理、两角和的正切公式，及不等式的解法，函数最小值的求法，考查灵活综合运用所学知识解决问题的能力。本题注意到韦达定理，可求出tan（+，但确定其最小值的关键是隐含条件0,所以解题时审题一定要仔细。已知a、q均为锐角，且Sina=正，sin=,求a+加勺值

5、。例3.5IO分析：可先求出。+优勺某三角函数值，再根据a+的范围，确定a+碘值。解：（方法一）,.a/?都是锐角，且Sina=日，sin/=COS4二乒iT7n二零sina1Csin1.*.tana=，tan=CoSa2cos03111.c、tan+tan夕73,.tan(+)=-=乙，,=11-tanatan_.Oay,0yy,.0+4乃.在(0,力内正切值为1的角只有E4C冗:.a-V=-(方法二)求得CoSa二竿，cos/?=孑*后可得：cos(+0=CoSaCoS尸一Sin0sin_2531051O_2-5IO5io-.O+夕m且在(0,乃)内余弦值为孝的角只有(。C冗:.a+=-说

6、明：本题主要考查由三角函数值求角的方法，和角公式、同角三角函数的基本关系式。除上述两种方法外，还可以通过计算sin(a+/7)去求值。但如果计算出sin(+7)=交后，直接得出+7=三是错误的，得到+/=乙或%也是错误的。2444需根据(O,)及Sina=等，得出OvaV5,同法可得OvQv?,从而+微范围可由(0,力缩小到(0,1)。可见，本例中求tan(+6)和CoS(+夕)均比求sin(+4)好，这是因为a+尸(0,r),在此区间上余弦函数、正切函数是单调函数，一个余弦值或正切值只与一个角对应；而正弦函数在(0,加上不是单调函数，耍确定+徽值还需进一步讨论，显然麻烦。由此可见三角函数的选

7、取非常重要。例4已知Uma=1,sin(2+/?)=3sin0,求tan(a+0。分析：注意到从tano=1,可得到=至+kr(kez)。从而可把问题化归成关于A的三角函数4。也可以根据所求角的特征，由2+=(+0+a,J3=(a+)-a,再变换第二个已知条件，进行求解。解：(方法一).tan6r=1,.,.=+k,kz4故sin(2a+。)=sin(-+尸+2k)=cos又sin(2a+=3sin?cos/7=3sin.,.tan=-1+1.+0=-1=T=21一tantan,._23(方法二)由sin(2+0=3sin,得sin(+0+=3sin(+)-a即sin(+)COSa+cos(+

8、/7)sina=3sin(+)COSa-CoS(+)sina即sin(+川)cos=2cos(+)Sina/.tan（+尸）=2tan=2x1=2说明：三角函数是以角为自变量的函数，角是主要变量。解题时，应认真去观察有关的角，确定能否求出角（如解法一）？是否需拆角？拆成什么样的角（如解法2）?从而把角看活，这样才能抓住问题的木质，把思路放开。对本题一般可见如下一种误解：由tana=1,不妨令a=（,代入5皿20+夕）=3$皿/?,得sin（+0=3sinp,即可求4fc.C1z6tana+tan得tan夕=一,.,.tan（+）=231-tanatan上述解法犯了以特殊代替般的毛病，尽管答案无

9、误，但不能算是完整无误的解法。若sin(a+/7)=,sin(a-)=-,求Um/的值。例5.210tan/分析：要求瞥的值，即求s,。cosy,从而问题转化为由条件求出Sinacos0COSatanpCoSaSm/tana,+1a，从而得方程辽2=5,解此方程，即可得解。tana-11tan夕解：(方法一)由已知sin(+夕)=Jsin(-)-sinacos+cosasin夕=一即(2sinacos-cosasin/?=,31解得SinaCOs=，cosasin=-105m,-tanaSinaCoSS3b3贝场=-=5=-tancosasin102(方法二).n,tana设-=tan/7_.

10、sin(+6)二5二5sin(-)1To7sin(+)_sinacos+cosasinsin(-)sinacos-cosasin(sinacos+cosasin)!_CoSaCoSP(sinacos-cossin0COSaCOS?_tana+tantana-tantana.+1tan/y_x+1tanax-11=5,角星之得=3,即*=3X-12tan/72说明：解法一是采用“化切为弦”进行求解，解法二是采用“化弦为切”进行求解。解此类问题，解法一较为常用。Q已知Sina=4sin(+/7),求证：tan(+)=例6.CoSP4分析：考虑到条件等式中含角+网,待证等式中含角a+价口/?,故可将

11、,仇a+个角联系到一起，化为(a+0-氏证明：,.sina=4sin(cr+)4sin(a+/7)=Sina=SinKa+尸)一切=sin(cr+)cos7-cos(+)si“(4-cos/7)sin(JrP)=-cos(+0sin/7sin(+)-sin.1=1,cos(+)4-cos即tan(a+0=SinS。等式得证。4-cos说明：本题除考查两角和(差)的三角函数外，还考查了条件恒等式的证明的方法和技巧,以及等价转换的技能和灵活性。本例若从结论等式出发，可得以下证法。要证tan(+)=cos-4即证sin(+0=sin#cos(+)cos/7-4即证sin(a+)(cos0-4)=co

12、s(a+)sin即证sin(+P)cos/?-4sin(+)=cos(z+/?)sin/7即证sin(+)cos-cos(+?)sin/7=4sin(+)即证sin(a+)-=4sin(cr+)即证Sina=4sin（+）此即为题设条件，显然成立。故所要证等式成立。以上证明方法为分析法，似比直接证法简便顺当。采用分析法证明时，要注意书写格式。【模拟试题】一.选择题。1.已知Sn(+0=3,Um(-0=5,贝han2的值是()74A.4B.-1C.2D.72.tan10tan20o+V5(tan10o+tan20o)等于().2B.I1656A.65B.65史或史一竺C.6565D.65A.等腰

13、三角形8 .A=6（尸的三角形C.等腰三角形或A=6（T的三角形D.不能确定a,N为锐角，且Iana=X,cos/?=/X,则+5 .若J1+x?的值为（）A.150pB.120oC.90pD.6(Tz小2/c乃、1WI+1an0tan(+/?)=,tan(y？)=,那么.如果544-tan的值等于(8sin（8+75。）+cos（6+45。）一V5cos（e+15。）的值等于（）A.1B.1C.-1D.0二.填空题。9 .tan67o30-tan220301的值是c/渊是锐角，且tana=,tan尸=，tan/=-,贝IJa+#+/10 .已知258a、夕?锐角，COSa=1CoS（a+/）=I,贝力=11 .已知7142已知13Sine+5cos7=9,13cosa+5sin=15,则sin（a+0=三.解答题。sin70+cos150sin8013.求值：cos70-sin150sin8041a,笈为锐角，COSa=，tan（a一优=，求cosp的值。14 .已知53a,7e（-,-）,且tana,tan夕是方程x?+35x+4=0A15 .